Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Prima/Delle linee per i diametri delle palle. Cap. V.

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Muzio Oddi - Fabrica et uso del compasso polimetro (1633)

Delle linee per i diametri delle palle. Cap. V.

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Parte Prima - Delle due medie proportionali. Cap. IIII.

Parte Prima - Delle linee per le palle di diversi metalli. Cap. VI.

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DELLE LINEE

PER I DIAMETRI DELLE PALLE.

CAP. V.

IA esposta una linea retta A di che

grandezza si voglia, & un’altra B doppia di essa, et frà queste due trovatone due altre C; D medie proportionali; s’imaginaremo la prima A essere il diametro d’una palla che pesi una libra la C sarà il diametro d’un’altra di due libre, D di quattro, [p. 21 modifica] et B di otto, laonde il peso di B, che in lunghezza è doppia di A viene ad’essere otto volte tanto, che è la proportione de i cubi di questi due numeri, uno et due: et perciò se di novo si raddoppiassero le C.D, B, si haverebbono i diametri delle palle di 16, 32, et 64 libre; et cosi se la B fosse tripla di A d’una libra, et frà loro le C,D medie proportionali il peso di C sarebbe di trè libre, D di nove, et B di ventisette, et se quintupla C di cinque, D di venticinque, et B di cento venticinque, et quale di esse si raddoppiasse, triplicasse, ò multiplicasse per quale si sia numero, si produrebbono diametri di palle, che i loro pesi à i pesi de i multiplicati farebbono nella proportione, che hanno i cubi loro; onde si scorge chiaramente come con alcune poche già trovate, se ne possono havere molt’altre; mà non però tutte, ne qualsivoglia: mà quelle sole, che alle già trovate hanno le proportioni antedette. Per havere poi le grandezze di quei diametri, che sono fuori di quel numero, è necessario fare una linea, che à qualcuna delle già note habbia la medesima proportione, che hà il numero delle libre, che si desidera, al peso di quella nota, et la prima delle due medie frà loro, sarà la grandezza 33. dell’undeci. del diametro che si và cercando; il che [p. 22 modifica]potrebbe per aventura riuscire alcuna volta negotio lungo, et fastidioso; et per questo, et per alleggiamento di molta fatica, hò stimato utile la seguente tavola, nella quale esposta una linea di che grandezza si voglia, la quale finto che sia il diametro d’una palla di cento venti libre, divisa col mezzo delle seconde in 220. particelle uguali, questa servirà comodamente come per scala da trovare le lunghezze de i diametri di tutte l'altre à baffo fino ad una libra, havendo notato nella prima colonna il numero delle libre del peso, et nella feconda per scontro quante di esse particelle vadino per fare la lunghezza del diametro della palla di quel peso; et se bene in queste non vi può essere quella isquisitezza geometrica,che si hà con le linee, per non essere se non pochi i numeri cubi, si è nondimeno procurato supplire col numero grande delle particelle, acciò vengono più minute le loro parti, e sia tanto meno conoscibile lo svario: et accioche s’accostino più al vero, si sono notate tutte, con uno, overo con due punti, per significare quali eccedono; et quali mancano, per farci avertiti nel pigliare dette misure, che in quelle dove è un sol punto, habbiamo da tenere la misura scarsa, et dove due, alquanto vantaggiosetta, mà nell’uno, et nell’altro di pochissima cosa. [p. 23 modifica]

T A V O L A.
Peso	Diametro			Peso	Diametro			Peso	Diametro			Peso	Diametro
1	:	44.	½	31	:	140		61	:	175.	½	91	.	200.	¾
2	.	56.	¼	32	:	141.	½	62	:	176.	½	92	.	201.	½
3	.	64.	¼	33	:	143		63	:	177.	³/₂	93	.	202.	¼
4	:	70.	¾	34	:	144	½	64	:	178.	³/₂	94	:	202.	¾
5	:	76.	¼	35	:	146		65	:	179.	¼	95	:	203.	½

6	:	81		36	:	147.	¼	66	:	180.	¾	96	:	204.	¾
7	:	85.	¼	37	.	148.	¾	67	.	181.	¾	97	:	205.
8	.	89.	¼	38		150.		68	:	182.		98	.	205.	¾
9	:	92.	¾	39	:	151.	¼	69	.	183.		99	.	206.	½
10	:	96		40	:	152.	⅓	70	:	183.	¾	100	:	207.

11	.	99.	¼	41	:	153.	¾	71	.	184.	¾	101	:	207.	¾
12	.	102.	¼	42	:	155.		72	:	185.	½	102	.	208	³/₂
13	.	105.		43	:	156.	¼	73	.	186.	½	103	.	209.	¼
14	:	107.	½	44	:	157.	½	74	:	187.	¼	104	:	209.	¾
15	:	110.		45	.	158.	¾	75	.	188.	¼	105	.	210.	³/₂

16	:	112.	¼	46	:	159.	¾	76	.	189.		106	.	211.	¼
17	.	114.	¾	47	:	161.		77	:	189.	¾	107	:	211.	¾
18	:	116.	¾	48	:	162.	¼	78	:	190.	³/₂	108	:	212.	³/₂
19	:	119.		49	:	163.	¼	79	.	191.	³/₂	109	.	213.	¾
20	:	121.		50	:	164.	¼	80	.	192.	¼	110	:	213.	¾

21	:	123.		51	:	165.	¼	81	:	193.		111	.	214.	³/₂
22	:	125.		52	:	166.	½	82	:	193.	¾	112	:	215.
23	:	126.	¾	53	:	167.	½	83	:	194.	³/₂	113	.	215.	¾
24	.	128.	½	54	:	168.	½	84	:	195.	¾	114	:	216.	¾
25	.	130.	½	55	.	169.	¾	85	.	196.	¾	115	.	217.

26	:	132.		56	:	170.	¾	86	.	197.		116	:	217	³/₂
27	.	133.	¾	57	:	171.	¾	87	.	197.	¾	117	.	218.	¼
28	.	135.	½	58	:	172.	¾	88	.	198.	½	118	:	218.	¾
29	:	137.		59	:	173.	¾	89	:	199.	¼	119	:	219.	³/₂
30	:	138.	½	60	:	174.	¾	90	.	200.		120	:	220.

[p. 24 modifica]Questa tavola non è difficile à farsi, ò fatta stenderla tanto in lungo quanto farà mestieri da chi è alquanto essercitato ne i numeri, e sa di loro estrarne la radice cuba. Imperoche propostone due,tra i quali se ne habbiano da trovare due altri medij; in continoua proportione; se il quadrato d’uno di loro si multiplicarà per l’altro numero, et del prodotto si troverà la radice cuba, questo sarà il primo delli due medij conseguente nell’ordine della proportione à quello il cui quadrato si multiplicò. come per esempio, Proposti due numeri 81, et 162 l’uno duplo dell’altro, che nella tavola rispondono al peso di sei, e quarantotto libre, se si multiplicarà il quadrato di 81, cioè 6561, per 162, e del prodotto 1062882 si cavarà la radice cuba, trovarassi essere 102, per il primo medio più prossimo all’81 il cui quadrato si multiplicò per l’altro numero, et avanzarne 1674 unità, che secondo la regola, formarebbe un rotto si fatto

{\frac {1674}{31518}}

il che non si è espresso nella tavola, dove si è ridotto ogni cosa à quarti per più facile intelligenza: mà perche è molto vantaggioso, ci si è fatto il segno di due punti, si che poco che si tenga la misura scarsa, per la piciolezza delle parti, si viene ad’acostarsi tanto al vero, che non si può conoscere la differenza. Per l’altro, si haverà da multiplicare il quadrato di 162, per 81, e dal prodotto 2125764 estrattane la radice cuba la [p. 25 modifica]quale si trovarà essere 128 con un rotto

{\frac {28672}{49536}}

che è più di mezzo, mà ci si è fatto

{3 \over 2}

con il segno del meno, cioè d’un sol punto, e questo è quello che è prossimo al 162, da porsi, il primo alle 12 libre, e quest’altro alle 24, in dupla proportione, come furono i numeri dati. La dimostratione di questa operatione è chiara. Perche se saranno quattro linee A, B, C, D, in continoua proportione, il parallelopipedo, che ha per base il quadrato della prima A, e per altezza la quarta D, sarà uguale al cubo di B;

essendo che come il quadrato di A, al quadrato di B, cosi sia la linea A, alla linea C, cioè cor.alla 19. di sesto come B, à D; e perciò la base del parallelopipedo, alla base del cubo, haverà la medesima proportione che l’altezza B, del cubo alla altezza D, del parallelopipedo, le quali perche si rispondono contrariamente saranno frà loro uguali: mà il numero che si 34. dell'II.. produce multiplicando prima A, in se stesso, e n. poi il suo quadrato col numero D, è l’area del parallelopipedo, dunq; la sua radice cuba sarà 7. dell'obtavo. il lato del cubo B, che è quello che si voleva dimostrare. In una linea retta poi si trasportaranno tutte le grandezze dei diametri delle palle di quei pesi che piacerà volere nell’istrumento per segnarcele con quel medesimo ordine tenuto con [p. 26 modifica]l'altre, cominciando sempre da un punto, che corrisponda al centro, co i suoi numeri, e si sarà fatto quanto si desiderava. Conciosiacosa che se si aprirà lo strumento in modo, che fra i punti; per essempio 50, sia un intervallo uguale al diametro vero d’una palla di cinquanta libre di peso, gl’altri intervalli fra i punti d’un medesimo numero saranno i diametri veri delle palle dell’istessa materia, pesanti tante di quelle medesime libre, quante ne significa il numero che si prendono; essendo che l’istessa proportione habbia la linea da1 centro al punto 50, à quella v.g.dal centro al 20 che l’intervallo fra ambo i punti 50 all’intervallo fra ambo i punti 20: ma quello ch‘è fra i punti 50 è il diametro d'una palla di cinquanta libre; dunque quello ch’è frà i punti 20 sarà il diametro vero d’una palla di venti libre di peso.