Dalle dita al calcolatore/III/7
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7. La scienza dei “tenditori di corde”
Eudemo di Rodi scrive che “la geometria fu scoperta dagli Egizi sulla base delle loro misurazioni del terreno. Tali misurazioni erano rese necessarie dalle inondazioni del Nilo che periodicamente cancellano i confini [degli appezzamenti]. Non c’è niente di strano nel fatto che questa scienza, come altre, sia nata dalle necessità pratiche degli uomini. Tutte le conoscenze che derivano da circostanze imperfette tendono a perfezionarsi; esse nascono dalle impressioni dei sensi, ma divengono gradualmente oggetto della nostra contemplazione ed entrano infine a far parte del regno dell’intelletto” (9a).
In effetti, gli affreschi tombali ci mostrano gli agrimensori,
o tenditori di corde, intenti a misurare i campi. Il loro procedimento è piuttosto semplice. Presa
una corda abbastanza lunga, vi fanno 13 nodi a distanza
regolare, in modo che la corda risulti divisa in
12 segmenti uguali. Il primo e l’ultimo nodo vengono
riuniti. Quando si deve effettuare qualche misurazione,
per delimitare un campo o le fondamenta di un
edificio o altro, è importante definire innanzitutto un
angolo retto. Per far questo è indispensabile la corda
con i nodi: dopo aver fissato uno dei nodi a un paletto,
si tende la corda fino a formare un triangolo rettangolo
i cui cateti sono lunghi rispettivamente 3 e 4
segmenti, mentre i restanti 5 segmenti formano l’ipotenusa.
Tenditori di corde al lavoro.
Alla base della tecnica dei tenditori di corde c’è il
“teorema di Pitagora”, e i numeri 3-4-5 formano una
delle cosiddette terne pitagoriche le quali, applicate
alle corde, danno sempre un triangolo rettangolo. Altre
terne sono 5-12-13, 15-36-39, ecc. Per gli agrimensori
egizi è necessario determinare angoli retti, in
modo che i campi di forma irregolare possano essere
divisi in triangoli rettangoli o in trapezi rettangoli,
dalla superficie facilmente calcolabile.
Le misurazioni con le corde sono effettuate non da persone qualsiasi, ma da un corpo specializzato della casta sacerdotale. Effettuare le misurazioni preliminari per la costruzione di qualche pubblico edificio costituisce dunque una vera e propria cerimonia sacra.
Il papiro Rhind mostra che l’area di un triangolo
isoscele viene calcolata moltiplicando metà della base
per l’altezza. Lo scriba spiega che il triangolo può essere
diviso in due triangoli rettangoli, le cui ipotenuse
sono rappresentate dai lati obliqui; spostando uno dei
triangoli rettangoli e girandolo in modo da far coincidere
le ipotenuse, si costruisce un rettangolo avente la
base uguale alla metà della base del triangolo. Un procedimento analogo viene proposto per calcolare l’area
del trapezio isoscele. Secondo Boyer: “In trasformazioni
come queste, in cui triangoli e trapezi isosceli
vengono convertiti in rettangoli, possiamo ravvisare
gli inizi di una teoria della congruenza e l’affiorare
dell’idea di dimostrazione geometrica” (8c).
Calcolo della superficie di un triangolo e di un trapezio isosceli, mediante trasformazione in rettangolo.
Il valore attribuito a Pi greco è stato considerato da
alcuni studiosi come un indice per valutare il livello
raggiunto dalla matematica presso i vari popoli o autori.
Lo scriba Ahmes ipotizza che l’area di un campo
circolare con diametro 9 sia uguale all’area di un campo
quadrato con lato 8. In pratica, ne risulterebbe un
valore di Pi greco uguale a 3,1666... Il percorso per
giungere a determinare con buona approssimazione
l’area del cerchio è stato lungo, come si può intuire dal problema 48 di Ahmes. Partendo da un quadrato di lato 9, si forma un ottagono dividendo ogni lato in tre parti. All’area del quadrato ( = 81) si sottrae l’area dei 4 triangoli ai vertici (4,5 x4 = 18); pertanto l’area dell’ottagono è 63. Ma l’area del cerchio inscritto nel quadrato in realtà è 63,6 ed è molto vicina all’area di un quadrato avente il lato di 8 unità, cioè 64. Lo studio dei rapporti fra cerchi e quadrati verrà poi ripreso e sviluppato dai Greci.
Determinazione della superficie di un cerchio inscritto in un quadrato.
Il papiro di Mosca, lungo circa 550 cm e largo solo 7,5 cm, viene redatto intorno al 1890 a.C. Contiene 25 esempi, quasi tutti analoghi a quelli di Ahmes, ad eccezione di due. In uno di essi viene calcolato il volume di un tronco di piramide. Nell’altro forse si accenna al calcolo della superficie di una cupola o, più probabilmente, di un tetto semicilindrico.