Dalle dita al calcolatore/I/3
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3. Contare senza numeri
I nostri bambini già in tenera età imparano i termini che designano i numeri, la corrispondente quantità, poi anche la rappresentazione scritta. Il loro “contare” è generalmente associato all’uso delle dita. Si è notato che alcuni bambini di 5-6 anni stabiliscono una corrispondenza fra un piccolo gruppo di oggetti e le dita delle mani, quindi contano sulle dita stesse per conoscere la quantità degli oggetti. Un bambino di 7 anni, con rilevanti difficoltà di apprendimento, pena più di un anno per imparare i nomi dei numeri da 0 a 10, e fatica quasi altrettanto ad associare le parole alle cifre: per riconoscere la cifra “7”, deve contare la tabella dei numeri fino a 7; successivamente, quando gli si mostra la cifra 7, stende immediatamente 7 dita (5 + 2) e poi si mette a contare sulle dita fino a sette. Solo ora dice che quel numero è “sette”. I nostri antenati, anche quelli di intelligenza superiore alla media, non possiedono invece né le cifre, né le parole per designare i numeri, e nemmeno i numeri.
La percezione visiva consente all’uomo di riconoscere modeste quantità di oggetti senza contare. E accertato che possiamo individuare, con un colpo d’occhio, e senza contare, fino a tre oggetti, eccezionalmente 4; per quantità superiori dobbiamo ricorrere a piccoli artifici, per esempio raggruppare mentalmente gli oggetti che vediamo: 2 + 2, 3 + 2 oppure 3 + 3. Per quantità superiori si impone una qualche forma di conteggio. In altre situazioni, per esempio a un banchetto, possiamo stabilire se gli invitati sono di più o di meno del previsto con la semplice osservazione: basta guardare se mancano o avanzano piatti.
È semplice, anche per il primitivo che non sa contare, riferire ai compagni di avere avvistato uno, due, tre capi di selvaggina. Aiutandosi con i gesti, può ripetere il nome dell’animale tante volte quanto è necessario, oppure può esemplificare con i sassolini o con le dita delle mani.
Il primo passo verso la conquista del numero è il riconoscimento della corrispondenza biunivoca: un sassolino, una pecora; due sassolini, due pecore... Con i sassolini si può giungere a rappresentare quantità notevoli, a condizione di poter stabilire la corrispondenza biunivoca in modo sicuro e di non perdere poi i sassolini stessi.
Un passo importante per la costruzione mentale di un sistema numerico è la capacità di superare lo stadio “fisiologico” o “percettivo”, per arrivare a dominare una quantità maggiore (6, 7...). Le cinque dita di una mano sembrano fatte apposta per fornire all’occhio il punto d’appoggio per recepire e memorizzare qualcosa in più. La facilità di memorizzazione è legata alla struttura stessa del nostro modo di pensare; infatti, le “figure” formate da una mano con dita distese o piegate possono essere memorizzate come tali, anche senza avere ben chiaro il significato del gesto; ciò perché la nostra specie, come dice Arnheim, ha una capacità di pensiero molto legata alla facoltà visiva e alla elaborazione di immagini, come stadio precedente alla memorizzazione di concetti sotto forma di parole.
L’estensione della tecnica all'uso delle due mani deve aver rappresentato il primo passo che ha portato a contare fino a 10. È interessante notare che, già a questo livello, compare la ricorsività, cioè si applica di nuovo un certo procedimento a una situazione simile, ma leggermente diversa.
Una delle caratteristiche fondamentali degli esseri viventi è quella di mantenere un metodo, una tecnica che si sia dimostrata valida, affidabile ed economica, anche al di fuori di uno specifico ambito, con opportune modifiche. Solo una necessità eccezionale può indurre ad abbandonare una metodologia collaudata, e anche in questo caso persisteranno le tracce di ciò che è stato.
La storia ci insegna che i progressi non sono mai improvvisi, che il nuovo non sostituisce il vecchio dall'oggi al domani. A cinquecento anni dall'acquisizione definitiva delle cifre arabe, non sono pochi gli ambiti d’uso delle cifre romane. Nel linguaggio, la persistenza delle tracce di vocaboli più antichi è ancora più accentuata.
In inglese la parola digit significa cifra, ma anche dito; deriva dal latino digitus (“dito”): digiti sono i primi nove numeri; articuli sono le decine. La parola digit ci è ritornata sotto la forma “digitale” e “bit”, acronimo di binary digit (“numerazione binaria”). È partita da Roma col significato di calcolo manuale ed è ritornata dopo duemila anni con il calcolo elettronico. Le tecniche di calcolo diffuse dai Romani sono quindi superiori a quelle delle popolazioni celtiche, e vengono adottate; così come ora, è la tecnologia del mondo anglosassone ad avere la superiorità, e perciò noi importiamo i mezzi e le parole con le quali viene espressa.
Fin dai primordi l’uomo acquisisce la consapevolezza della versatilità delle proprie dita in ogni aspetto della vita. Non può sfuggirgli la possibilità di usare le dita delle mani, e se necessario anche dei piedi, per rappresentare o registrare determinate quantità, e per calcolare.
Tuttora, quando vogliamo attirare l’attenzione di una persona su qualche cosa, la “indichiamo” usando appunto l’indice. La forza del legame tra il dito e l’azione è mostrata dalla radice comune del verbo e del nome del dito. Si stabilisce così un legame tra la parte del corpo, il dito, e il concetto che definisce l’azione, tanto che oggi manteniamo l’uso della parola “indicare” anche per azioni che nulla hanno a che fare con il dito in sé ma sono concettualmente analoghe all’azione primitiva di attirare l’attenzione di qualcuno su qualche cosa.
Noi per indicare due oggetti orientiamo opportunamente un dito e diciamo ad esempio: “Guarda quelle DUE case”; ricorriamo cioè al dito per indicare la direzione e alle parole per specificare la quantità. Se non disponessimo delle parole adatte e del concetto formalizzato di numero, per rappresentare la quantità dovremmo usare due dita; diversamente dovremmo indicare in successione gli oggetti di cui si tratta: il primo, il secondo...
Già nel primo tipo di azione esiste un preciso rapporto tra il dito e l’oggetto; questa relazione si amplia fino a diventare relazione di equipotenza quando usiamo più dita o più volte lo stesso dito, stabilendo una relazione “uno a uno” con gli oggetti che ci interessano per indicarne la quantità. Da queste considerazioni emerge la presenza contemporanea dell’aspetto ordinale e di quello cardinale del numero; infatti, le dita sono naturalmente “ordinate” e ancora di più lo sono le indicazioni in successione, mentre la corrispondenza uno a uno è riferibile al concetto di cardinalità di un numero.
Si suppone che i termini indicanti i numeri, almeno quelli di più antica invenzione (in pratica i primi cinque), derivino da parole indicanti le dita o parti del corpo. Purtroppo, tutto ciò si è perso nella notte dei tempi e non resta altro da fare che affidarci a ipotesi e analogie. Varie popolazioni primitive studiate nel secolo scorso per esprimere il 5 usano un termine che significa "mano". I numeri inferiori a 5 dovrebbero derivare dai nomi delle dita. Il termine sanscrito pantcha, che vuol dire 5, trova una corrispondenza nel persiano pentcha, mano. Il cinque russo, piat, somiglia a piast, mano tesa.
A questo punto bisogna ricordare che anche la parola, in quanto suono ed espressione di pensiero, contribuisce insieme alle dita e ad altre parti del corpo al lungo processo di costruzione del concetto di numero.
Dantzig riferisce che una tribù della Columbia Britannica possiede ben "7 distinti gruppi di vocaboli per indicare i numeri: uno per gli oggetti piatti e per gli animali, uno per gli oggetti rotondi e per il tempo, uno per contare gli uomini, uno per gli oggetti lunghi e per gli alberi, uno per le canoe, uno per le misure, uno per contare senza riferirsi ad oggetti ben determinati" (3a). Ciò significa che se da un lato si è giunti a dare un nome ai numeri (nome che indica nello stesso tempo anche l’oggetto contato), dall’altro si è rimasti avvinghiati alla percezione concreta delle cose; è cioè mancato quel passo verso l’astrazione che avrebbe fatto capire che quattro canoe e quattro uomini hanno in comune proprio il "4".