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246 Appendice A - Cenni di calcolo combinatorio

che ciascuno di essi contenga tutte e sole quelle disposizioni che differiscano esclusivamente per l’ordine ma siano composte dagli stessi oggetti; ovviamente il numero di questi sottoinsiemi è : ed ognuno di essi contiene un numero di elementi che è .

Da qui ricaviamo

(A.3)

O, in altre parole, il numero di combinazioni di classe di oggetti è uguale al rapporto tra il prodotto di numeri interi decrescenti a partire da ed il prodotto di numeri interi crescenti a partire dall’unità.

Si dimostrano poi facilmente, a partire dalla definizione, due importanti proprietà dei coefficienti binomiali:


e

.

È da osservare che, così come sono stati ricavati (dalla definizione delle possibili combinazioni di oggetti), i coefficienti binomiali hanno senso solo se e sono numeri interi; ed inoltre se risulta sia che . La definizione (A.3) può comunque essere estesa a valori interi qualunque, ed anche a valori reali di — ma questo esula dal nostro interesse.


A.7 Partizioni ordinate

Consideriamo un insieme di oggetti; vogliamo calcolare il numero di maniere in cui essi possono essere divisi in gruppi che siano composti da oggetti rispettivamente (essendo ).

Gli oggetti che compongono il primo gruppo possono essere scelti in modi differenti; quelli del secondo gruppo in modi; e così via. Per il lemma fondamentale del calcolo combinatorio, il numero delle partizioni