Teoria degli errori e fondamenti di statistica/A.6

A.6 Combinazioni

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A.5 A.7

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A.6 Combinazioni

Se e sono due numeri interi positivi tali che sia , si definisce come numero delle combinazioni di classe di oggetti il numero dei sottoinsiemi distinti composti da oggetti che è possibile formare a partire dagli originali; definendo come distinti due sottoinsiemi se essi differiscono per qualche elemento. Il numero delle combinazioni di classe di oggetti si indica con uno dei due simboli

o

(l’ultimo dei quali si chiama coefficiente binomiale).

Consideriamo l’insieme composto da tutte le disposizioni di classe di oggetti, e pensiamo di raggruppare i suoi elementi in sottoinsiemi in modo [p. 246 modifica]che ciascuno di essi contenga tutte e sole quelle disposizioni che differiscano esclusivamente per l’ordine ma siano composte dagli stessi oggetti; ovviamente il numero di questi sottoinsiemi è : ed ognuno di essi contiene un numero di elementi che è .

Da qui ricaviamo

(A.3)

O, in altre parole, il numero di combinazioni di classe di oggetti è uguale al rapporto tra il prodotto di numeri interi decrescenti a partire da ed il prodotto di numeri interi crescenti a partire dall’unità.

Si dimostrano poi facilmente, a partire dalla definizione, due importanti proprietà dei coefficienti binomiali:

e

.

È da osservare che, così come sono stati ricavati (dalla definizione delle possibili combinazioni di oggetti), i coefficienti binomiali hanno senso solo se e sono numeri interi; ed inoltre se risulta sia che . La definizione (A.3) può comunque essere estesa a valori interi qualunque, ed anche a valori reali di — ma questo esula dal nostro interesse.