Teoria degli errori e fondamenti di statistica/A.6

by Maurizio Loreti

A.6 Combinazioni

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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A.6 Combinazioni

Se $N$ e $K$ sono due numeri interi positivi tali che sia $K\leq N$, si definisce come numero delle combinazioni di classe $K$ di $N$ oggetti il numero dei sottoinsiemi distinti composti da $K$ oggetti che è possibile formare a partire dagli $N$ originali; definendo come distinti due sottoinsiemi se essi differiscono per qualche elemento. Il numero delle combinazioni di classe $K$ di $N$ oggetti si indica con uno dei due simboli

$C_{K}^{N}$

o

${\binom {N}{K}}$

(l’ultimo dei quali si chiama coefficiente binomiale).

Consideriamo l’insieme composto da tutte le disposizioni di classe $K$ di $N$ oggetti, e pensiamo di raggruppare i suoi elementi in sottoinsiemi in modo che ciascuno di essi contenga tutte e sole quelle disposizioni che differiscano esclusivamente per l’ordine ma siano composte dagli stessi oggetti; ovviamente il numero di questi sottoinsiemi è $C_{K}^{N}$: ed ognuno di essi contiene un numero di elementi che è $P_{K}$.

Da qui ricaviamo

$C_{K}^{N}\;\equiv \;{\binom {N}{K}}\;=\;{\frac {D_{K}^{N}}{P_{K}}}\;=\;{\frac {N\cdot (N-1)\cdots (N-K+1)}{K\cdot (K-1)\cdots 1}}\;=\;{\frac {N!}{K!\,(N-K)!}}$

(A.3)

O, in altre parole, il numero di combinazioni di classe $K$ di $N$ oggetti è uguale al rapporto tra il prodotto di $K$ numeri interi decrescenti a partire da $N$ ed il prodotto di $K$ numeri interi crescenti a partire dall’unità.

Si dimostrano poi facilmente, a partire dalla definizione, due importanti proprietà dei coefficienti binomiali:

${\binom {N}{K}}={\binom {N}{N-K}}$

e

${\binom {N+1}{K}}={\binom {N}{K-1}}+{\binom {N}{K}}$.

È da osservare che, così come sono stati ricavati (dalla definizione delle possibili combinazioni di $N$ oggetti), i coefficienti binomiali hanno senso solo se $N$ e $K$ sono numeri interi; ed inoltre se risulta sia $N>0$ che $0\leq K\leq N$. La definizione (A.3) può comunque essere estesa a valori interi qualunque, ed anche a valori reali di $N$ — ma questo esula dal nostro interesse.