Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4.2

by Maurizio Loreti

8.4.2 Applicazione: il rapporto di asimmetria

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.4.2 Applicazione: il rapporto di asimmetria

Frequentemente, nella fisica, si devono considerare esperimenti in cui si cerca di mettere in evidenza delle asimmetrie; ovvero, la non invarianza della funzione di frequenza di una qualche variabile casuale per riflessione rispetto ad un piano. Supponiamo, come esempio, di considerare la possibilità che un dato fenomeno abbia una diversa probabilità di presentarsi in avanti o all’indietro rispetto ad una opportuna superficie di riferimento; e di raccogliere N eventi sperimentali dividendoli in due sottoinsiemi (mutuamente esclusivi ed esaurienti) collegati a queste due categorie, indicando con F e B (iniziali delle due parole inglesi forward e backward) il loro numero: ovviamente dovrà risultare $N=F+B$.

Il cosiddetto rapporto di asimmetria, R, si definisce come

$R={\frac {F-B}{F+B}}={\frac {F-B}{N}}={\frac {2F}{N}}-1$:

(8.11)

è ovvio sia che $-1\leq R\leq 1$, sia che soltanto due dei quattro valori N, F, B ed R sono indipendenti; e, volendo, dall’ultima forma della (8.11) si possono ricavare le espressioni di F e B in funzione di N ed R, ovvero

$F={\frac {N(1+R)}{2}}$

e

$B={\frac {N(1-R)}{2}}$.

Se indichiamo con p la probabilità di un evento in avanti (e con $q=1-p$ quella di uno all’indietro), il trovare esattamente F eventi in avanti su un totale di N ha probabilità data dalla distribuzione binomiale: ovvero

$\Pr(F)={\binom {N}{F}}\,p^{F}(1-p)^{N-F}$

con, inoltre,

$E(F)=Np$

e

${\text{Var}}(F)=Np(1-p)$.

Ma, per quanto detto, c'è una corrispondenza biunivoca tra i valori di N ed F da una parte, e quello di R; così che

$\Pr(R)={\binom {N}{\frac {N(1+R)}{2}}}\,p^{\frac {N(1+R)}{2}}\,(1-p)^{\frac {N(1-R)}{2}}$,

$E(R)={\frac {2}{N}}\,E(F)-1=2p-1$

e

${\text{Var}}(R)={\frac {4}{N^{2}}}\,{\text{Var}}(F)={\frac {4p(1-p)}{N}}$.

Se il numero di eventi nel campione è elevato e p lontano dai valori estremi, così da potere sia sfruttare l’approssimazione normale alla distribuzione di Bernoulli, sia pensare che risulti

$p\simeq {\frac {F}{N}}$

che

$q\simeq {\frac {B}{N}}$,

come conseguenza anche la distribuzione di R sarà approssimativamente normale; e con i primi due momenti dati da

$E(R)\simeq 2\,{\frac {F}{N}}-1$

e

${\text{Var}}(R)\simeq 4\,{\frac {FB}{N^{3}}}.$

Del rapporto di asimmetria parleremo ancora più avanti, nel corso di questo stesso capitolo: più esattamente nel paragrafo 8.5.2.