Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4.1

8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi

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8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi

Se la probabilità per un singolo nucleo instabile di decadere in un intervallo di tempo t è costante, la probabilità di avere un numero prefissato di decadimenti nel tempo t in un insieme di N nuclei è data dalla distribuzione binomiale; in particolare, il numero medio di decadimenti in N nuclei e nel tempo t è .

Se si ammette poi che sia proporzionale al tempo1 t, indicando con la probabilità di decadimento nell’unità di tempo avremo ; in un tempo infinitesimo dt, il numero di atomi presente al tempo t varia mediamente di

.

Separando le variabili ed integrando, il numero medio di atomi presenti al tempo t, dopo il decadimento di una parte di quelli presenti all’istante iniziale , è dato dalla

(8.9)

ed il numero medio di decadimenti dalla

.

La vita media di una sostanza radioattiva si può definire come il tempo necessario perché il numero originario di nuclei si riduca mediamente di un fattore ; quindi , e la (8.9) si può riscrivere

. (8.10)

Note

  1. Questa ipotesi può evidentemente essere soddisfatta solo in prima approssimazione: basta pensare al fatto che deve raggiungere l’unità solo dopo un tempo infinito. In particolare, la probabilità per un nucleo di decadere in un tempo vale ; e l’ipotesi fatta è in effetti valida solo se è infinitesimo, o (in pratica) se l’osservazione riguarda un lasso di tempo trascurabile rispetto alla vita media.