Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/131

8.4 - La distribuzione di Bernoulli

115

e

${\text{Var}}(R)={\frac {4}{N^{2}}}\,{\text{Var}}(F)={\frac {4p(1-p)}{N}}$.

Se il numero di eventi nel campione è elevato e p lontano dai valori estremi, così da potere sia sfruttare l’approssimazione normale alla distribuzione di Bernoulli, sia pensare che risulti

$p\simeq {\frac {F}{N}}$

che

$q\simeq {\frac {B}{N}}$,

come conseguenza anche la distribuzione di R sarà approssimativamente normale; e con i primi due momenti dati da

$E(R)\simeq 2\,{\frac {F}{N}}-1$

e

${\text{Var}}(R)\simeq 4\,{\frac {FB}{N^{3}}}.$

Del rapporto di asimmetria parleremo ancora più avanti, nel corso di questo stesso capitolo: più esattamente nel paragrafo 8.5.2.

8.4.3 La distribuzione binomiale negativa

Consideriamo ancora un evento casuale E ripetibile, avente probabilità costante p di presentarsi (e quindi probabilità $q=1-p$ di non presentarsi) in una singola prova; in più prove successive l’evento seguirà dunque la statistica di Bernoulli. Vogliamo ora calcolare la probabilità $f(x;N,p)$ che, prima che si verifichi l’N-esimo successo, si siano avuti esattamente x insuccessi; o, se si preferisce, la probabilità che l’N-simo successo si presenti nella $(N+x)$-sima prova.

L’evento casuale considerato si realizza se e solo se nelle prime $N+x-1$ prove si è presentata una delle possibili sequenze di $N-1$ successi e x fallimenti; e se poi, nella prova successiva, si ha un ulteriore successo. La prima condizione, applicando la (8.7), ha probabilità

${\binom {N+x-1}{N-1}}\,p^{N-1}\,q^{x}$;

e, vista l’indipendenza statistica delle prove tra loro, risulta dunque

$f(x;N,p)\;=\;{\binom {N+x-1}{N-1}}\,p^{N}\,q^{x}\;=\;{\binom {N+x-1}{x}}\,p^{N}\,q^{x}.$

(8.12)

(nell’ultimo passaggio si è sfruttata la proprietà dei coefficienti binomiali $\textstyle {\binom {N}{K}}\equiv {\binom {N}{N-K}}$; vedi in proposito il paragrafo A.6).