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8.4 - La distribuzione di Bernoulli

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e $M_{z}(t)$ tende quindi alla funzione generatrice dei momenti di una distribuzione normale standardizzata; in conseguenza si è effettivamente provato, visto uno dei teoremi citati nel paragrafo 6.4, che la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale.

In pratica, quando il numero di prove N è elevato e la probabilità p non è troppo vicina ai valori estremi 0 ed 1, la distribuzione binomiale è bene approssimata da una distribuzione normale; in generale si ritiene che l’approssimazione sia accettabile quando entrambi i prodotti Np e Nq hanno valore non inferiore a 5.

8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi

Se la probabilità $\Lambda _{t}$ per un singolo nucleo instabile di decadere in un intervallo di tempo t è costante, la probabilità di avere un numero prefissato di decadimenti nel tempo t in un insieme di N nuclei è data dalla distribuzione binomiale; in particolare, il numero medio di decadimenti in N nuclei e nel tempo t è $N\Lambda _{t}$ .

Se si ammette poi che $\Lambda _{t}$ sia proporzionale al tempo¹ t, indicando con $\lambda$ la probabilità di decadimento nell’unità di tempo avremo $\Lambda _{t}=\lambda t$ ; in un tempo infinitesimo dt, il numero di atomi $N(t)$ presente al tempo t varia mediamente di

$\mathrm {d} N=-N\lambda \,\mathrm {d} t$ .

Separando le variabili ed integrando, il numero medio di atomi presenti al tempo t, dopo il decadimento di una parte di quelli $N_{0}$ presenti all’istante iniziale $t=0$ , è dato dalla

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}

(8.9)

ed il numero medio di decadimenti dalla

$N_{0}-N(t)=N_{0}\left(1-e^{-\lambda t}\right)$ .

La vita media $\tau$ di una sostanza radioattiva si può definire come il tempo necessario perché il numero originario di nuclei si riduca mediamente di un fattore $1/e$ ; quindi $\tau =1/\lambda$ , e la (8.9) si può riscrivere

N(t)\;=\;N_{0}\,e^{-{\frac {t}{\tau }}}

.

(8.10)

↑ Questa ipotesi può evidentemente essere soddisfatta solo in prima approssimazione: basta pensare al fatto che $\Lambda _{t}$ deve raggiungere l’unità solo dopo un tempo infinito. In particolare, la probabilità per un nucleo di decadere in un tempo $2t$ vale $\Lambda _{2t}=\Lambda _{t}+(1-\Lambda _{t})\cdot \Lambda _{t}=2\Lambda _{t}-\Lambda _{t}^{2}$ ; e l’ipotesi fatta è in effetti valida solo se $\Lambda _{t}$ è infinitesimo, o (in pratica) se l’osservazione riguarda un lasso di tempo trascurabile rispetto alla vita media.

[1] Questa ipotesi può evidentemente essere soddisfatta solo in prima approssimazione: basta pensare al fatto che $\Lambda _{t}$ deve raggiungere l’unità solo dopo un tempo infinito. In particolare, la probabilità per un nucleo di decadere in un tempo $2t$ vale $\Lambda _{2t}=\Lambda _{t}+(1-\Lambda _{t})\cdot \Lambda _{t}=2\Lambda _{t}-\Lambda _{t}^{2}$ ; e l’ipotesi fatta è in effetti valida solo se $\Lambda _{t}$ è infinitesimo, o (in pratica) se l’osservazione riguarda un lasso di tempo trascurabile rispetto alla vita media.

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