Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.3.1

by Maurizio Loreti

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

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8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

Siano due variabili casuali x ed y che seguano la distribuzione normale standardizzata $N(0,1)$; e sia inoltre la y definita su tutto l’asse reale ad eccezione dell’origine ($y\neq 0$). La densità di probabilità congiunta di x e y è la

$f(x,y)=N(x;0,1)\cdot N(y;0,1)={\frac {1}{2\pi }}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}e^{{\frac {1}{2}}y^{2}}$;

definendo

$u={\frac {x}{y}}$

e

$v=y$

e ricordando la (7.4), la densità di probabilità $\varphi (u)$ della u è la

$\varphi (u)$	$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{-{\frac {1}{2}}\,u^{2}v^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\,v^{2}}\,|v|\,\mathrm {d} v$
	$={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-{\frac {1}{2}}\,v^{2}\left(1+u^{2}\right)}\,v\,\mathrm {d} v$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-t}\,\mathrm {d} t$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\left[-e^{-t}\right]_{0}^{+\infty }$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}$

Per eseguire l’integrazione si è effettuata la sostituzione

$t={\frac {1}{2}}\,v^{2}\left(1+u^{2}\right)$

$\Longrightarrow$

$\mathrm {d} t=\left(1+u^{2}\right)v\,\mathrm {d} v$

e si riconosce immediatamente nella $\varphi (u)$ la densità di probabilità di una variabile (standardizzata) di Cauchy: il rapporto tra due variabili normali segue la distribuzione di Cauchy.