Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/123

8.3 - La distribuzione di Cauchy 107


Se le sono N variabili casuali indipendenti che seguono la distribuzione di Cauchy con parametri e , una generica loro combinazione lineare

segue la stessa distribuzione: infatti la funzione generatrice per le è

e, definendo e ricordando la (6.17),

;

infine, applicando la (6.11),

ove si è posto

e .

Una conseguenza importante è che il valore medio di un campione di misure proveniente da una popolazione che segua la distribuzione di Cauchy con certi parametri e d (in questo caso tutte le sono uguali e valgono ) è distribuito anch’esso secondo Cauchy e con gli stessi parametri; in altre parole non si guadagna nessuna informazione accumulando più di una misura (e calcolando la media aritmetica del campione)1.

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

Siano due variabili casuali x ed y che seguano la distribuzione normale standardizzata ; e sia inoltre la y definita su tutto l’asse reale ad eccezione dell’origine (). La densità di probabilità congiunta di x e y è la

;



  1. Esistono altre tecniche, basate però sull’uso della mediana, che permettono di migliorare la conoscenza del valore di disponendo di più di una misura.