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8.3 - La distribuzione di Cauchy

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Se le $x_{k}$ sono N variabili casuali indipendenti che seguono la distribuzione di Cauchy con parametri $\theta _{k}$ e $d_{k}$, una generica loro combinazione lineare

$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$

segue la stessa distribuzione: infatti la funzione generatrice per le $x_{k}$ è

$\phi _{x_{k}}(t)=e^{i\theta _{k}t-|t|d_{k}}$

e, definendo $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$ e ricordando la (6.17),

$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{ia_{k}\theta _{k}t-|t|\cdot |a_{k}|\,d_{k}}$;

infine, applicando la (6.11),

$\phi _{y}(t)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;e^{i\theta _{y}t-|t|d_{y}}$

ove si è posto

$\theta _{y}=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\theta _{k}$

e

$d_{y}=\sum _{k=1}^{N}|a_{k}|d_{k}$.

Una conseguenza importante è che il valore medio di un campione di misure proveniente da una popolazione che segua la distribuzione di Cauchy con certi parametri $\theta$ e d (in questo caso tutte le $a_{k}$ sono uguali e valgono $1/N$) è distribuito anch’esso secondo Cauchy e con gli stessi parametri; in altre parole non si guadagna nessuna informazione accumulando più di una misura (e calcolando la media aritmetica del campione)¹.

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

Siano due variabili casuali x ed y che seguano la distribuzione normale standardizzata $N(0,1)$; e sia inoltre la y definita su tutto l’asse reale ad eccezione dell’origine ($y\neq 0$). La densità di probabilità congiunta di x e y è la

$f(x,y)=N(x;0,1)\cdot N(y;0,1)={\frac {1}{2\pi }}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}e^{{\frac {1}{2}}y^{2}}$;

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1. Esistono altre tecniche, basate però sull’uso della mediana, che permettono di migliorare la conoscenza del valore di $\theta$ disponendo di più di una misura.