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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

definendo

$u={\frac {x}{y}}$

e

$v=y$

e ricordando la (7.4), la densità di probabilità $\varphi (u)$ della u è la

$\varphi (u)$	$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{-{\frac {1}{2}}\,u^{2}v^{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\,v^{2}}\,|v|\,\mathrm {d} v$
	$={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-{\frac {1}{2}}\,v^{2}\left(1+u^{2}\right)}\,v\,\mathrm {d} v$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-t}\,\mathrm {d} t$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\left[-e^{-t}\right]_{0}^{+\infty }$
	$={\frac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}$

Per eseguire l’integrazione si è effettuata la sostituzione

$t={\frac {1}{2}}\,v^{2}\left(1+u^{2}\right)$

$\Longrightarrow$

$\mathrm {d} t=\left(1+u^{2}\right)v\,\mathrm {d} v$

e si riconosce immediatamente nella $\varphi (u)$ la densità di probabilità di una variabile (standardizzata) di Cauchy: il rapporto tra due variabili normali segue la distribuzione di Cauchy.

8.4 La distribuzione di Bernoulli

Consideriamo un evento casuale ripetibile E, avente probabilità costante p di verificarsi; indichiamo con $q=1-p$ la probabilità del non verificarsi di E (cioè la probabilità dell’evento complementare ${\bar {E}}$). Vogliamo ora determinare la probabilità $P(x;N)$ che in N prove ripetute E si verifichi esattamente x volte (deve necessariamente risultare $0\leq x\leq N$).

L’evento casuale costituito dal presentarsi di E per x volte (e quindi dal presentarsi di ${\bar {E}}$ per le restanti $N-x$) è un evento complesso che può verificarsi in diverse maniere, corrispondenti a tutte le diverse possibili sequenze di successi e fallimenti; queste sono ovviamente mutuamente esclusive, ed in numero pari a quello delle possibili combinazioni di N oggetti a x a x, che vale

$C_{x}^{N}={\binom {N}{x}}={\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}$.