Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.2

by Maurizio Loreti

6.2 La speranza matematica per le variabili continue

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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6.2 La speranza matematica per le variabili continue

Possiamo ora determinare l’espressione della speranza matematica di una generica variabile casuale continua x; questa grandezza, che avevamo gia definito nell’equazione (5.1) come

$E(x)=\sum \nolimits _{i}p_{i}x_{i}$

per una variabile discreta, si dovra ora scrivere per una variabile continua

$E(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)\,\mathrm {d} x$;

dove per $f(x)$ si intende la funzione densità di probabilità della variabile casuale x.

Per ricavare questa formula, basta pensare di aver suddiviso l’asse delle x in un numero grandissimo di intervalli estremamente piccoli di ampiezza dx, ad ognuno dei quali è associata una probabilità anch’essa estremamente piccola che vale $\mathrm {d} p=f(x)\,\mathrm {d} x$; e sostituire poi nella formula per variabili discrete. In base al teorema di pagina 57 (il teorema di Čebyšef), le medie aritmetiche dei campioni finiti di valori della grandezza x tendono proprio a questo $E(x)$ all’aumentare indefinito di N.

La speranza matematica di una qualsiasi grandezza $W(x)$ funzione della variabile casuale x sarà poi

$E\left[W(x)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }W(x)\cdot f(x)\,\mathrm {d} x$.

(6.2)