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6.2 - La speranza matematica per le variabili continue

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invece definita semplicemente come una funzione non negativa, integrabile su tutto l’asse reale e che obbedisca alla condizione di normalizzazione. Il passo successivo consiste nell’associare ad ogni intervallo infinitesimo dx la quantità $\mathrm {d} p=f(x)\,\mathrm {d} x$, e ad ogni intervallo finito $[x_{1},x_{2}]$ il corrispondente integrale: integrale che, come si può facilmente controllare, soddisfa la definizione assiomatica di probabilità.

6.2 La speranza matematica per le variabili continue

Possiamo ora determinare l’espressione della speranza matematica di una generica variabile casuale continua x; questa grandezza, che avevamo gia definito nell’equazione (5.1) come

$E(x)=\sum \nolimits _{i}p_{i}x_{i}$

per una variabile discreta, si dovra ora scrivere per una variabile continua

$E(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)\,\mathrm {d} x$;

dove per $f(x)$ si intende la funzione densità di probabilità della variabile casuale x.

Per ricavare questa formula, basta pensare di aver suddiviso l’asse delle x in un numero grandissimo di intervalli estremamente piccoli di ampiezza dx, ad ognuno dei quali è associata una probabilità anch’essa estremamente piccola che vale $\mathrm {d} p=f(x)\,\mathrm {d} x$; e sostituire poi nella formula per variabili discrete. In base al teorema di pagina 57 (il teorema di Čebyšef), le medie aritmetiche dei campioni finiti di valori della grandezza x tendono proprio a questo $E(x)$ all’aumentare indefinito di N.

La speranza matematica di una qualsiasi grandezza $W(x)$ funzione della variabile casuale x sarà poi

$E\left[W(x)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }W(x)\cdot f(x)\,\mathrm {d} x$.

(6.2)

6.3 I momenti

Per qualunque variabile casuale x si possono definire, sempre sulla popolazione, i cosiddetti momenti: il momento di ordine k rispetto all’origine,