Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.6.3
Questo testo è stato riletto e controllato. |
◄ | 5.6.2 | 5.7 | ► |
5.6.3 Il teorema di Bernoulli
Sia un qualsiasi evento casuale avente probabilità di verificarsi; indichiamo con la probabilità del non verificarsi di (cioè la probabilità dellʼevento complementare ).
Consideriamo poi un insieme di prove nelle quali si osserva se si è o no verificato; ed introduciamo una variabile casuale , definita come il numero di volte in cui si è verificato in una di tali prove. Ovviamente può assumere i due soli valori 1 (con probabilità ) e 0 (con probabilità ); la sua speranza matematica è perciò data da
. | (5.11) |
La frequenza relativa dell’evento nelle prove si può chiaramente esprimere (indicando con , il valore assunto dalla variabile casuale nella -esima di esse) come
,
ossia è data dal valore medio della y sul campione di prove, ; ma questʼultimo (per il teorema di Čebyšef1) deve convergere statisticamente, allʼaumentare di , alla speranza matematica per : che vale proprio . Riassumendo,
abbiamo così dimostrato il
- Teorema (di Bernoulli, o legge “dei grandi numeri”): la frequenza relativa di qualunque evento casuale converge (statisticamente) alla sua probabilità allʼaumentare del numero delle prove.