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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

numero di volte in cui $E$ si è verificato in una di tali prove. Ovviamente $y$ può assumere i due soli valori 1 (con probabilità $p$) e 0 (con probabilità $q$); la sua speranza matematica è perciò data da

$E(y)=1\cdot p+0\cdot q=p$.

(5.11)

La frequenza relativa $f$ dell’evento $E$ nelle $N$ prove si può chiaramente esprimere (indicando con $y$, il valore assunto dalla variabile casuale $y$ nella $i$-esima di esse) come

$f={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}$,

ossia è data dal valore medio della y sul campione di prove, ${\bar {y}}$; ma questʼultimo (per il teorema di Čebyšef¹) deve convergere statisticamente, allʼaumentare di $N$, alla speranza matematica per $y$: che vale proprio $p$. Riassumendo, abbiamo così dimostrato il

Teorema (di Bernoulli, o legge “dei grandi numeri”): la frequenza relativa di qualunque evento casuale converge (statisticamente) alla sua probabilità allʼaumentare del numero delle prove.

5.7 Valore medio e valore vero

Anche se non ci basiamo sulla definizione empirica di probabilità, ma su quella assiomatica, possiamo ora presupporre la convergenza della media aritmetica dei campioni di misure alla speranza matematica della grandezza misurata, che ora a buon diritto possiamo chiamare “valore medio del risultato della misura sullʼintera popolazione”.

Si può ora meglio precisare la distinzione fra errori casuali ed errori sistematici: i primi, visto che possono verificarsi con uguale probabilità in difetto ed in eccesso rispetto al valore vero, avranno valore medio nullo; mentre errori sistematici causeranno invece per definizione una differenza tra il valore medio delle misure $E(x)$ ed il valore vero. In assenza di errori sistematici assumiamo allora che valore medio e valore vero coincidano: ammettiamo insomma (lo proveremo più avanti per la distribuzione normale) che in tal

1. Il teorema di Čebyšef vale per tutte le variabili casuali per le quali esistano sia la speranza matematica che la varianza: la prima è espressa dallʼequazione (5.11), la seconda sarà ricavata più tardi nellʼequazione (8.8) a pagina 109