<dc:title> Teoria degli errori e fondamenti di statistica </dc:title><dc:creator opt:role="aut">Maurizio Loreti</dc:creator><dc:date>2006</dc:date><dc:subject></dc:subject><dc:rights>CC BY-SA 3.0</dc:rights><dc:rights>GFDL</dc:rights><dc:relation>Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu</dc:relation><dc:identifier>//it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.10&oldid=-</dc:identifier><dc:revisiondatestamp>20220418150728</dc:revisiondatestamp>//it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.10&oldid=-20220418150728
Teoria degli errori e fondamenti di statistica - 5.10 Ancora sull'errore quadratico medio Maurizio LoretiTeoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu
Diamo qui un’altra dimostrazione del teorema riguardante la stima corretta dell’errore quadratico medio di una popolazione a partire da un campione, seguendo una linea diversa e più vicina alle verifiche sperimentali che si possono fare avendo a disposizione numerosi dati.
Si supponga di avere campioni contrassegnati dallʼindice (con che assume i valori ); ciascuno di essi sia poi costituito da misure ripetute della stessa grandezza , contrassegnate a loro volta dallʼindice (): il valore osservato nella misura -esima del campione -esimo sia indicato insomma dal simbolo .
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Indicando con il valore vero di , e con la media aritmetica del campione -esimo, vale la
.
Ora sommiamo su tutte le uguaglianze che si hanno per i valori dellʼindice e dividiamo per ; se indichiamo con la varianza del campione -esimo, data da
otteniamo alla fine
.
Lʼultima sommatoria a destra è la somma algebrica degli scarti delle misure del campione -esimo dalla loro media aritmetica che sappiamo essere identicamente nulla. Dunque, per ogni vale la
e se sommiamo membro a membro tutte le uguaglianze che abbiamo per e dividiamo per , risulta
.
Ora supponiamo di avere a disposizione moltissimi campioni e
passiamo al limite per . Il primo membro (che rappresenta il valore medio, su tutti i dati e tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti dal valore vero) converge stocasticamente alla varianza della variabile casuale ; il secondo termine a destra (valore medio, su tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti della media aritmetica del campione dal proprio valore vero) converge alla varianza delle medie dei campioni di misure . [p. 63modifica]
Il primo termine a destra è il valore medio della varianza dei campioni di misure e, sostituendo, infine si trova
Ora, avendo già dimostrato che
si ricava facilmente
ovvero
che è il risultato già ottenuto.
Si noti che mentre molti teoremi della statistica sono validi solo asintoticamente, cioè per campioni numerosi o per un numero molto grande di variabili, questo teorema vale per ogni
().