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5.10 - Ancora sull’errore quadratico medio

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Il primo termine a destra è il valore medio della varianza dei campioni di $N$ misure e, sostituendo, infine si trova

$~\sigma ^{2}$	$=$	$\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{NM}}\sum \nolimits _{ij}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}$
	$=$	$\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{s_{j}}^{2}+\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$
	$=$	$E(s^{2})\;+\;{\sigma _{\bar {x}}}^{2}.$

Ora, avendo già dimostrato che

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}},$

si ricava facilmente

$\sigma ^{2}=E(s^{2})+{\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

ovvero

$E(s^{2})={\frac {N-1}{N}}\sigma ^{2}$

che è il risultato già ottenuto.

Si noti che mentre molti teoremi della statistica sono validi solo asintoticamente, cioè per campioni numerosi o per un numero molto grande di variabili, questo teorema vale per ogni $N$ ($\geq 2$).