Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.3.3

by Maurizio Loreti

4.3.3 Varianza e deviazione standard

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

4.3.3 Varianza e deviazione standard

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4.3.3. Varianza e deviazione standard

La più importante (e più usata, non solo in fisica) stima di dispersione è la deviazione standard (oppure scarto o deviazione quadratica media) $s$; che si definisce come la radice quadrata della varianza, $s^{2}$:

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.$

Per distribuzioni non troppo asimmetriche la deviazione media assoluta è circa i $\textstyle {\frac {4}{5}}$ della deviazione standard, e l’intervallo semiinterquartilico è circa i $\textstyle {\frac {2}{3}}$ della stessa.

Per calcolare lo scarto quadratico medio di un campione senza l’aiuto di un calcolatore appositamente programmato, può risultare utile sfruttare la sua seguente proprietà:

$~Ns^{2}$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{\bigl (}{x_{i}}^{2}+{\bar {x}}^{2}-2{\bar {x}}x_{i}{\bigr )}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}+N{\bar {x}}^{2}-2{\bar {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}+N{\bar {x}}^{2}-2N{\bar {x}}^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-N{\bar {x}}^{2}$

da cui la formula

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\bar {x}}^{2}$

che permette un calcolo più agevole di $s^{2}$ accumulando successivamente i quadrati dei valori osservati anziché quelli dei loro scarti dalla media.