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Capitolo 4 - Elaborazione dei dati

$~Ns^{2}$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{\bigl (}{x_{i}}^{2}+{\bar {x}}^{2}-2{\bar {x}}x_{i}{\bigr )}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}+N{\bar {x}}^{2}-2{\bar {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}+N{\bar {x}}^{2}-2N{\bar {x}}^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-N{\bar {x}}^{2}$

da cui la formula

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\bar {x}}^{2}$

che permette un calcolo più agevole di $s^{2}$ accumulando successivamente i quadrati dei valori osservati anziché quelli dei loro scarti dalla media.

4.4 Giustificazione della media

Stabiliamo quindi per convenzione che il nostro metodo per misurare la dispersione di un campione di dati è quello del calcolo della deviazione standard; accettiamo anche che in qualche modo questo numero sia legato all’errore presumibilmente commesso nel corso delle misure. Una definizione più precisa di ciò che si intende con le parole “errore commesso”, ovverosia l’interpretazione probabilistica dello scarto quadratico medio nei riguardi delle misure ripetute, verrà data più avanti nel paragrafo 9.3.

Comunque, una volta assunto questo, possiamo approfondire il discorso già cominciato sulla media aritmetica come stima del centro della distribuzione e quindi del valore vero di una grandezza, nel caso di misure ripetute ed in assenza di errori sistematici. È infatti possibile provare ¹ che la media

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1. La dimostrazione risale a Gauss se ci si limita alle sole operazioni lineari sui dati, e solo ad anni recenti per un qualsiasi algoritmo operante su di essi; vedi in proposito l’appendice E.