Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.2.5

by Maurizio Loreti

4.2.5 Prima giustificazione della media

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

4.2.5 Prima giustificazione della media

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4.2.5 Prima giustificazione della media

La stima di tendenza centrale che è di uso generale per le misure ripetute è la media aritmetica: i motivi sono svariati e sostanzialmente legati alle proprietà statistiche della media stessa; di essi ci occuperemo ancora più avanti. In particolare vedremo nel paragrafo 11.3 che la media aritmetica è effettivamente la stima migliore, nel senso or ora chiarito di questa frase.

A questo punto possiamo già comunque renderci conto (anche se in maniera non rigorosa) che la media aritmetica di più misure dovrebbe avere un errore inferiore a quello delle misure stesse; indichiamo con $x^{*}$ il valore vero della grandezza $x$, e con $x_{i}\,(i=1,2,\ldots ,N)$ le $N$ determinazioni sperimentali di $x$: lʼerrore assoluto commesso in ognuna delle misure $x_{i}$ sarà dato da $\epsilon _{i}=x_{i}-x^{*}$. Lʼerrore assoluto della media aritmetica è allora dato da

${\bar {\epsilon }}={\bar {x}}-x^{*}$

e, sfruttando la (4.1),

${\bar {\epsilon }}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}-x^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-x^{*}\right)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\epsilon _{i}$.

Se gli errori sono solo casuali, saranno ugualmente probabili in difetto e in eccesso rispetto al valore vero; e se le misure sono numerose gli $\epsilon _{i}$ tenderanno quindi ad eliminarsi a vicenda nella sommatoria, che inoltre è moltiplicata per un fattore $1/N$.