Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.2.3

by Maurizio Loreti

4.2.3 La media aritmetica

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

4.2.3 La media aritmetica

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4.2.3 La media aritmetica

La stima di gran lunga più usata della tendenza centrale di un campione è la media aritmetica ${\bar {x}}$ dei valori osservati, definita attraverso la

${\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$.

(4.1)

Proprietà matematiche della media aritmetica sono le seguenti.

Proprietà 1. la somma degli scarti di un insieme di valori dalla loro media aritmetica è identicamente nulla.

Infatti dalla definizione risulta

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\bar {x}}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}x_{i}-N{\bar {x}}$
	$=$	$N{\bar {x}}-N{\bar {x}},$

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\equiv 0.$

(4.2)

Proprietà 2. la media aritmetica ${\bar {x}}$ di un insieme di dati numerici $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ è quel valore di $x$ rispetto al quale risulta minima la somma dei quadrati degli scarti dalle $x_{i}$; cioè quel numero per il quale è verificata la

$\min \left\{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}\right\}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

Infatti abbiamo

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{\bigl [}(x_{i}-{\bar {x}})+({\bar {x}}-x){\bigr ]}^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}\left[(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+({\bar {x}}-x)^{2}+2(x_{i}-{\bar {x}})({\bar {x}}-x)\right]$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{N}({\bar {x}}-x)^{2}+2({\bar {x}}-x)\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}});$

da qui, sfruttando lʼequazione (4.2), si ottiene

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\;+\;N({\bar {x}}-x)^{2}$

(4.3)

e finalmente

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}\geq \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.