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Capitolo 4 - Elaborazione dei dati

fisica; e nel grafico sono messi in evidenza i valori per essa assunti dalle tre stime di tendenza centrale considerate. Si tratta della funzione di frequenza detta di Maxwell-Boltzmann, e secondo essa sono ad esempio distribuiti, in un gas perfetto, i moduli delle velocità delle molecole: lʼequazione della curva è

$y=f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\alpha ^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{-\alpha v^{2}}$

(4.4)

(in cui $\alpha$ è una costante dipendente dalla massa delle molecole e dalla temperatura del gas).

La scelta dellʼuso dellʼuna o dellʼaltra stima statistica per determinare la tendenza centrale di un campione di misure ripetute andrà decisa sulla base delle proprietà delle stime stesse; più precisamente sulla base dello studio di come si distribuiscono varie stime che si riferiscano a campioni analoghi, cioè ad insiemi di misure della stessa grandezza fisica presumibilmente affette dallo stesso errore (eseguite insomma in condizioni simili) e composti da uno stesso numero di dati. La stima che sceglieremo dovrebbe essere la migliore, nel senso già usato allʼinizio di questo paragrafo 4.2: quella che ha la maggiore probabilità di darci il valore vero della grandezza misurata.

4.2.5 Prima giustificazione della media

La stima di tendenza centrale che è di uso generale per le misure ripetute è la media aritmetica: i motivi sono svariati e sostanzialmente legati alle proprietà statistiche della media stessa; di essi ci occuperemo ancora più avanti. In particolare vedremo nel paragrafo 11.3 che la media aritmetica è effettivamente la stima migliore, nel senso or ora chiarito di questa frase.

A questo punto possiamo già comunque renderci conto (anche se in maniera non rigorosa) che la media aritmetica di più misure dovrebbe avere un errore inferiore a quello delle misure stesse; indichiamo con $x^{*}$ il valore vero della grandezza $x$, e con $x_{i}\,(i=1,2,\ldots ,N)$ le $N$ determinazioni sperimentali di $x$: lʼerrore assoluto commesso in ognuna delle misure $x_{i}$ sarà dato da $\epsilon _{i}=x_{i}-x^{*}$. Lʼerrore assoluto della media aritmetica è allora dato da

${\bar {\epsilon }}={\bar {x}}-x^{*}$

e, sfruttando la (4.1),

${\bar {\epsilon }}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}-x^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-x^{*}\right)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\epsilon _{i}$.

Se gli errori sono solo casuali, saranno ugualmente probabili in difetto e in eccesso rispetto al valore vero; e se le misure sono numerose gli $\epsilon _{i}$