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Capitolo 4 - Elaborazione dei dati

Infatti abbiamo

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}{\bigl [}(x_{i}-{\bar {x}})+({\bar {x}}-x){\bigr ]}^{2}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}\left[(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+({\bar {x}}-x)^{2}+2(x_{i}-{\bar {x}})({\bar {x}}-x)\right]$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{N}({\bar {x}}-x)^{2}+2({\bar {x}}-x)\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}});$

da qui, sfruttando lʼequazione (4.2), si ottiene

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\;+\;N({\bar {x}}-x)^{2}$

(4.3)

e finalmente

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}\geq \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

4.2.4 Considerazioni complessive

Oltre le tre stime citate di tendenza centrale ne esistono altre, di uso però limitato a casi particolari e che non hanno frequente uso né nella statistica né nella fisica; per soli motivi di completezza citiamo qui:

• la media geometrica, $g$, definita come la radice $N$-esima del prodotto degli $N$ valori rappresentati nel campione:

$g^{N}=\prod _{i=1}^{N}x_{i};$

• la media armonica, $h$, definita come il reciproco del valore medio dei reciproci dei dati:

${\frac {1}{h}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{x_{i}}};$

• la media quadratica, $q$, definita come la radice quadrata del valore medio dei quadrati dei dati:

$q={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}}}.$