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4.2 - Stime di tendenza centrale

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misure $x_{i}$ da $x$; cioè tale che

$\min \left\{\sum _{i=1}^{N}\vert x_{i}-x\vert \right\}=\sum _{i=1}^{N}\vert x_{i}-{\tilde {x}}\vert .$

4.2.3 La media aritmetica

La stima di gran lunga più usata della tendenza centrale di un campione è la media aritmetica ${\bar {x}}$ dei valori osservati, definita attraverso la

${\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$.

(4.1)

Proprietà matematiche della media aritmetica sono le seguenti.

Proprietà 1. la somma degli scarti di un insieme di valori dalla loro media aritmetica è identicamente nulla.

Infatti dalla definizione risulta

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})$	$=$	$\sum _{i=1}^{N}x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\bar {x}}$
	$=$	$\sum _{i=1}^{N}x_{i}-N{\bar {x}}$
	$=$	$N{\bar {x}}-N{\bar {x}},$

$\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\equiv 0.$

(4.2)

Proprietà 2. la media aritmetica ${\bar {x}}$ di un insieme di dati numerici $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ è quel valore di $x$ rispetto al quale risulta minima la somma dei quadrati degli scarti dalle $x_{i}$; cioè quel numero per il quale è verificata la

$\min \left\{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x)^{2}\right\}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.