Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.1
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3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali
Oggetto della teoria delle probabilità è lo studio dei fenomeni casuali o aleatori: cioè fenomeni ripetibili (almeno in teoria) infinite volte e che possono manifestarsi in più modalità, imprevedibili singolarmente, che si escludono a vicenda l’una con l’altra; esempi tipici di fenomeni casuali sono il lancio di un dado o di una moneta, o l’estrazione di una carta da un mazzo. Come risultato del lancio della moneta o del dado, essi cadranno e si ridurranno in quiete con una determinata faccia rivolta verso l’alto; per la moneta le possibilità sono due, mentre per il dado sono sei.
Il complesso delle possibili modalità con cui un fenomeno casuale si può verificare costituisce l’insieme (o spazio) dei risultati, S; esso può essere costituito da un numero finito o infinito di elementi.
Definiremo poi come evento casuale l’associazione di una o più di queste possibili modalità: ad esempio, lo spazio dei risultati per il fenomeno “lancio di un dado" è un insieme composto da sei elementi; ed uno degli eventi casuali che è possibile definire (e che corrisponde al realizzarsi dell’uno o dell’altro di tre dei sei possibili risultati) consiste nell’uscita di un numero dispari. L’insieme di tutti i possibili eventi (o spazio degli eventi) E è dunque l’insieme di tutti i sottoinsiemi di S (insieme potenza o insieme delle parti di S); compresi l’insieme vuoto ed S stesso, che si chiamano anche rispettivamente evento impossibile ed evento certo.
Se si è in grado di fissare una legge di corrispondenza che permetta di associare ad ogni modalità di un fenomeno casuale scelta nell’insieme S uno ed un solo numero reale x, questo numero prende il nome di variabile casuale definita su S. Le variabili casuali possono assumere un numero finito od infinito di valori, e possono essere discrete o continue; è da notare che, per la presenza degli errori, la misura di una grandezza fisica può essere considerata come un evento casuale — ed il risultato numerico che da tale misura otteniamo è una variabile casuale che possiamo associare all’evento stesso.