Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.4.3
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11.4.3 Interpolazione con una retta per l'origine
Se conosciamo altri vincoli cui debba soddisfare la legge che mette in relazione i valori delle variabili misurate e , possiamo imporre che la retta corrispondente appartenga ad un particolare sottoinsieme delle rette del piano; ad esempio, un caso che si può presentare è che la retta sia vincolata a passare per una posizione particolare, che supporremo qui essere l’origine degli assi coordinati.
Una generica retta per l’origine ha equazione ; ammesso ancora che gli errori commessi riguardino soltanto la misura della e non quella della , che tutti i vari abbiano errori distribuiti secondo la legge normale e tra loro uguali, e che le misure siano tra loro indipendenti, il problema dell’interpolazione lineare si riduce a trovare tra le infinite rette passanti per l’origine quella che rende massima la funzione di verosimiglianza
.
Passando al logaritmo naturale di , è facile vedere che la soluzione ricercata è sempre quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui dai punti misurati: che cioè minimizza la funzione
.
La derivata prima di vale
e, imponendo che essa sia nulla, l’estremante si ha per
e corrisponde in effetti ad un minimo. La legge di propagazione degli errori è esatta anche in questo caso, perché è una combinazione lineare delle variabili affette da errore (le ); il coefficiente di nella combinazione vale
e quindi
e la formula per il calcolo degli errori a posteriori diventa
visto che il parametro da cui l’errore quadratico medio dipende e che deve essere stimato sulla base dei dati è uno soltanto: .