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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva 185

a passare per una posizione particolare, che supporremo qui essere l’origine degli assi coordinati.

Una generica retta per l’origine ha equazione ; ammesso ancora che gli errori commessi riguardino soltanto la misura della e non quella della , che tutti i vari abbiano errori distribuiti secondo la legge normale e tra loro uguali, e che le misure siano tra loro indipendenti, il problema dell’interpolazione lineare si riduce a trovare tra le infinite rette passanti per l’origine quella che rende massima la funzione di verosimiglianza

.

Passando al logaritmo naturale di , è facile vedere che la soluzione ricercata è sempre quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui dai punti misurati: che cioè minimizza la funzione

.

La derivata prima di vale


e, imponendo che essa sia nulla, l’estremante si ha per


e corrisponde in effetti ad un minimo. La legge di propagazione degli errori è esatta anche in questo caso, perché è una combinazione lineare delle variabili affette da errore (le ); il coefficiente di nella combinazione vale


e quindi


e la formula per il calcolo degli errori a posteriori diventa}


visto che il parametro da cui l’errore quadratico medio dipende e che deve essere stimato sulla base dei dati è uno soltanto: .