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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

variabile continua x una funzione “densità di probabilità” $f(x)$, da cui si può dedurre la probabilità che la x cada in un qualsiasi intervallo finito prefissato: questa è data semplicemente dall’area sottesa dalla curva nell’intervallo in questione.

Analogamente al concetto sperimentale di frequenza cumulativa relativa, introdotto a pagina 33 nel paragrafo 4.1, si può definire la funzione di distribuzione per una variabile continua x come

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Essa rappresenta la probabilità di osservare un valore non superiore ad x, e dovrà necessariamente soddisfare la $F(+\infty )\equiv 1$. Quindi deve valere la cosiddetta

Condizione di normalizzazione: l’integrale di una qualunque funzione che rappresenti una densità di probabilità, nell’intervallo $[-\infty ,+\infty ]$ vale 1.

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=1$.

(6.1)

È da enfatizzare come il solo fatto che valga la condizione di normalizzazione, ossia che converga l’integrale (6.1), è sufficiente a garantire che una qualsiasi funzione che rappresenti una densità di probabilità debba tendere a zero quando la variabile indipendente tende a più o meno infinito; e questo senza alcun riferimento alla particolare natura del fenomeno casuale cui essa è collegata. Questo non è sorprendente, visto che la disuguaglianza (5.7) di Bienaymé-Cebyšef implica che a distanze via via crescenti dal valore medio di una qualsiasi variabile casuale corrispondano probabilità via via decrescenti, e che si annullano asintoticamente.

Al lettore attento non sarà sfuggito il fatto che, per introdurre il concetto di densità di probabilità, ci si è ancora una volta basati sul risultato di un esperimento reale (l’istogramma delle frequenze relative in un campione); e si è ipotizzato poi che la rappresentazione di tale esperimento si comporti in un determinato modo quando alcuni parametri (il numero di misure e la sensibilità sperimentale) vengono fatti tendere a limiti che, nella pratica, sono irraggiungibili.

Questo è in un certo senso analogo all’enfasi che abbiamo prima posto sulla definizione empirica della probabilità, in quanto più vicina all’esperienza reale di una definizione totalmente astratta come quella assiomatica; per un matematico la densità di probabilità di una variabile casuale continua è