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11.3 - Media pesata

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11.3 Media pesata

Quando si abbiano a disposizione più determinazioni ripetute di una stessa grandezza fisica, sappiamo che da esse si può ricavare un valore unico da usare come risultato finale attraverso il calcolo della media aritmetica; questa (come già anticipato senza dimostrazione nel paragrafo 4.4) è la funzione dei dati con la distribuzione più stretta attorno al valore vero, e ci fornisce quindi la stima più verosimile di esso. Però questo presuppone che i dati, essendo considerati tutti allo stesso modo nella formula, posseggano la stessa precisione sperimentale: ad esempio che siano stati valutati dallo stesso sperimentatore, con lo stesso strumento e nelle stesse condizioni; in altre parole, che le misure provengano da un’unica popolazione.

Può capitare invece di disporre di più determinazioni della stessa grandezza fisica fatte da sperimentatori diversi, od in condizioni sperimentali differenti: e di voler ugualmente estrarre da queste valutazioni, affette da differenti errori, un valore unico da usare come risultato complessivo.

Facendo le ipotesi che tutte le misure $x_{i}$ siano tra loro statisticamente indipendenti, ed inoltre affette da errori casuali distribuiti secondo la legge di Gauss, la densità di probabilità corrispondente all’evento casuale costituito dall’osservazione degli $N$ valori $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ si può scrivere (applicando il teorema della probabilità composta)

$\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{*}-x_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$

dove $x^{*}$ è il valore vero (ignoto) di $x$, e le $\sigma _{i}$ sono gli errori quadratici medi (supposti noti) delle diverse determinazioni.

La funzione di verosimiglianza è la

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};x)\;=\;\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$

(cioè la densità di probabilità di cui sopra, nella quale il valore vero $x^{*}$ è sostituito dal parametro variabile $x$); e ricordiamo che essa rappresenta la densità di probabilità associata all’evento casuale consistente nell’essere il numero $x$ il valore vero della grandezza misurata, qualora di essa si siano ottenute le $N$ stime indipendenti $x_{i}$, di errori rispettivi $\sigma _{i}$, supposte seguire la legge normale.

La stima più verosimile è quella che, rendendo massima ${\mathcal {L}}$, individua quel numero che, sulla base delle osservazioni disponibili, possiede la massima probabilità di coincidere con il valore vero: vedremo tra poco che la