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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

la distribuzione di Student ad $N$ gradi di libertà è a sua volta distribuito con una densità di probabilità data da $F(t^{2};1,N)$.

Per terminare, quando i due parametri $M$ ed $N$ (da cui la funzione di frequenza di Fisher (12.19) dipende) vengono resi arbitrariamente grandi, essa tende ad una distribuzione normale; ma la convergenza è lenta, e l’approssimazione normale alla distribuzione di Fisher si può pensare in pratica usabile quando sia $M$ che $N$ sono superiori a 50.

12.6.1 Confronto tra varianze

Supponiamo di avere a disposizione due campioni di misure, che ipotizziamo provenire da due differenti popolazioni che seguano delle distribuzioni normali.

Siano $M$ ed $N$ le dimensioni di tali campioni, e siano ${\sigma _{1}}^{2}$ e ${\sigma _{2}}^{2}$ le varianze delle rispettive popolazioni di provenienza; indichiamo poi con ${s_{1}}^{2}$ ed ${s_{2}}^{2}$ le due stime delle varianze delle popolazioni ricavate dai campioni. Vogliamo ora capire come si può verificare l’ipotesi statistica che le due popolazioni abbiano la stessa varianza, ossia che $\sigma _{1}=\sigma _{2}$.

Ora sappiamo già dalla equazione (12.8) che le due variabili casuali

$X=(M-1){\frac {{s_{1}}^{2}}{{\sigma _{1}}^{2}}}$

e

$Y=(N-1){\frac {{s_{2}}^{2}}{{\sigma _{2}}^{2}}}$

sono entrambe distribuite come il $\chi ^{2}$, con $M-1$ ed $N-1$ gradi di libertà rispettivamente; quindi la quantità

$w={\frac {X}{M-1}}\,{\frac {N-1}{Y}}={\frac {{s_{1}}^{2}}{{\sigma _{1}}^{2}}}\,{\frac {{\sigma _{2}}^{2}}{{s_{2}}^{2}}}$

ha densità di probabilità data dalla funzione di Fisher con $M-1$ ed $N-1$ gradi di libertà.

Assunta a priori vera l’ipotesi statistica $\sigma _{1}=\sigma _{2}$, la variabile casuale

$w={\frac {{s_{1}}^{2}}{{s_{2}}^{2}}}$

ha densità di probabilità data dalla funzione di Fisher prima menzionata, $F(w;M-1,N-1)$; per cui, fissato un livello di confidenza al di là del quale rigettare l’ipotesi, e ricavato dalle apposite tabelle¹ il valore $W$ che lascia alla propria sinistra, al di sotto della funzione $F(w;M-1,N-1)$, un’area pari al livello di confidenza prescelto, si può escludere che i due campioni provengano da popolazioni con la stessa varianza se $w>W$.

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1. Per un livello di confidenza pari a 0.95 o 0.99, e per alcuni valori dei due parametri $M$ ed $N$, ci si può riferire ancora alle tabelle dell’appendice G; in esse si assume che sia $s_{1}>s_{2}$, e quindi $w>1$.