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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

la variabile casuale

$u\;=\;{\frac {\delta -E(\delta )}{\sigma _{\delta }}}\;=\;{\frac {({\bar {x}}-{\bar {y}})-\left[E(x)-E(y)\right]}{\sqrt {{\sigma }^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$

è normale con media 0 e varianza 1. Per concludere,

$t\;=\;{\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X}{N+M-2}}}}\;=\;{\frac {({\bar {x}}-{\bar {y}})-\left[E(x)-E(y)\right]}{\sqrt {S^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$

(12.18)

deve seguire la distribuzione di Student con $N+M-2$ gradi di libertà; di conseguenza, per verificare l’ipotesi che le due popolazioni normali da cui i campioni provengono abbiano la stessa media ammesso già che posseggano la stessa varianza, basta confrontare con le apposite tabelle della distribuzione di Student il valore della $t$ ottenuta dalla (12.18) ponendovi $E(x)-E(y)=0$:

$t={\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}}{\sqrt {S^{2}\left({\dfrac {1}{N}}+{\dfrac {1}{M}}\right)}}}$.

12.6 La distribuzione di Fisher

Sia $X$ una variabile casuale distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $M$ gradi di libertà; ed $Y$ una seconda variabile casuale, indipendente dalla prima, distribuita ancora come il $\chi ^{2}$, ma con $N$ gradi di libertà.

La variabile casuale $w$ (sempre positiva) definita in funzione di esse attraverso la relazione

$w={\frac {\dfrac {X}{M}}{\dfrac {Y}{N}}}$

ha una densità di probabilità che segue la cosiddetta funzione di frequenza di Fisher con $M$ ed $N$ gradi di libertà. La forma analitica della funzione di Fisher è data dalla

$F(w;M,N)=K_{MN}{\frac {w^{{\frac {M}{2}}-1}}{\left(Mw+N\right)^{\frac {M+N}{2}}}}$

(12.19)

(nella quale $K_{MN}$ è un fattore costante determinato dalla condizione di normalizzazione).