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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

${\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}$	$={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-N{\bar {x}}^{2}\right)$
	$={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(N{\bar {x}}^{2}+\sum _{i=2}^{N}{y_{i}}^{2}-N{\bar {x}}^{2}\right)$
	$=\sum _{i=2}^{N}{\frac {{y_{i}}^{2}}{\sigma ^{2}}}$.

Applicando alle $y_{i}=\sum _{j}A_{ij}x_{j}$ le formule per la media e la varianza delle combinazioni lineari di variabili casuali statisticamente indipendenti già ricavate nel capitolo 5, si trova facilmente (tenendo presenti la (12.5) e la (12.6)) che la varianza di ognuna di esse è ancora $\sigma ^{2}$; e che, per $i\neq 1$, il loro valore medio è 0. Di conseguenza, per $i\geq 2$ le $y_{i}/\sigma$ sono variabili casuali normali aventi media 0 e varianza 1: e questo implica che

$X''=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{2}$

(12.7)

sia effettivamente distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N-1$ gradi di libertà.

È interessante confrontare questo risultato con quello precedentemente ricavato, e riguardante la stessa espressione — in cui però gli scarti erano calcolati rispetto alla media della popolazione $\mu$. Nel primo caso la distribuzione era ancora quella del $\chi ^{2}$, ma con $N$ gradi di libertà: riferendoci invece alla media aritmetica del campione, i gradi di libertà diminuiscono di una unità. Questo è conseguenza di una legge generale, secondo la quale il numero di gradi di libertà da associare a variabili che seguono la distribuzione del $\chi ^{2}$ è dato dal numero di contributi indipendenti: ovvero il numero di termini con distribuzione normale sommati in quadratura (qui $N$, uno per ogni determinazione $x_{i}$) diminuito del numero di parametri che compaiono nella formula e che sono stati stimati dai dati stessi (qui uno: appunto la media della popolazione, stimata usando la media aritmetica delle misure).

Un’ultima notevole conseguenza del fatto che la variabile casuale $X''$ definita dalla (12.7) sia distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N-1$ gradi di libertà è la seguente: la stima della varianza della popolazione ottenuta dal campione, $s^{2}$, vale

$s^{2}=X''\,{\frac {\sigma ^{2}}{N-1}}$

(12.8)

e, essendo proporzionale a $X''$, è anch’essa distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N-1$ gradi di libertà; quindi la sua densità di probabilità è data dalla (12.1) e dipende