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202 Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)
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Applicando alle le formule per la media e la varianza delle combinazioni lineari di variabili casuali statisticamente indipendenti già ricavate nel capitolo 5, si trova facilmente (tenendo presenti la (12.5) e la (12.6)) che la varianza di ognuna di esse è ancora ; e che, per , il loro valore medio è 0. Di conseguenza, per le sono variabili casuali normali aventi media 0 e varianza 1: e questo implica che

(12.7)

sia effettivamente distribuita come il a gradi di libertà.

È interessante confrontare questo risultato con quello precedentemente ricavato, e riguardante la stessa espressione — in cui però gli scarti erano calcolati rispetto alla media della popolazione . Nel primo caso la distribuzione era ancora quella del , ma con gradi di libertà: riferendoci invece alla media aritmetica del campione, i gradi di libertà diminuiscono di una unità. Questo è conseguenza di una legge generale, secondo la quale il numero di gradi di libertà da associare a variabili che seguono la distribuzione del è dato dal numero di contributi indipendenti: ovvero il numero di termini con distribuzione normale sommati in quadratura (qui , uno per ogni determinazione ) diminuito del numero di parametri che compaiono nella formula e che sono stati stimati dai dati stessi (qui uno: appunto la media della popolazione, stimata usando la media aritmetica delle misure).

Un’ultima notevole conseguenza del fatto che la variabile casuale definita dalla (12.7) sia distribuita come il a gradi di libertà è la seguente: la stima della varianza della popolazione ottenuta dal campione, , vale

(12.8)

e, essendo proporzionale a , è anch’essa distribuita come il a gradi di libertà; quindi la sua densità di probabilità è data dalla (12.1) e dipende