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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

casuale

$X=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}$

(ovviamente non negativa) è distribuita con una densità di probabilità data dalla

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} X}}=f(X;N)=K_{N}\,X^{\left({\frac {N}{2}}-1\right)}e^{-{\frac {X}{2}}}$

(12.1)

(distribuzione del chi quadro); la costante $K_{N}$ viene fissata dalla condizione di normalizzazione, ed il parametro $N$ prende il nome di numero di gradi di libertà della distribuzione.

La funzione caratteristica della $X$ si può trovare facilmente considerando che, se la $x$ è una variabile normale standardizzata, il suo quadrato $y=x^{2}$ ha una funzione caratteristica

$\phi _{y}(t)$	$=E{\bigl (}e^{ity}{\bigr )}$
	$=E\left(e^{itx^{2}}\right)$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{itx^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} x$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}(1-2it)}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {1}{\sqrt {1-2it}}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} u$
	$=(1-2it)^{-{\frac {1}{2}}}$

(si è eseguita la sostituzione di variabile $u=x{\sqrt {1-2it}}$; l’integrale definito è quello di una distribuzione normale $N(u;0,1)$ e vale dunque 1). Di conseguenza, applicando l’equazione (6.11), la funzione caratteristica della $X$ vale

$\phi _{X}(t)=(1-2it)^{-{\frac {N}{2}}}$.

(12.2)

Per dimostrare che la funzione di frequenza della $X$ è effettivamente la (12.1), si parte poi dall’espressione (12.2) della funzione caratteristica e le si applica la trasformazione inversa di Fourier già definita nella (6.10).

Con simili passaggi si potrebbe ricavare la funzione generatrice dei momenti, che vale

$M_{X}(t)=(1-2t)^{-{\frac {N}{2}}}$