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12.1 - La distribuzione del $\chi ^{2}$

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definiti come

$A_{ij}\equiv {\begin{cases}i=1:&{\frac {1}{\sqrt {N}}}\\[4ex]i>1:&{\begin{cases}j<i:&{\frac {1}{\sqrt {i(i-1)}}}\\[2ex]j=i:&-{\frac {i-1}{\sqrt {i(i-1)}}}\\[2ex]j>i:&0\end{cases}}\end{cases}}$

Non è difficile controllare che la matrice ${\boldsymbol {A}}$ è ortogonale; inoltre la prima riga è stata scelta in modo tale che

$y_{1}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sqrt {N}}}\,x_{i}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {N}}}\cdot N{\bar {x}}\;=\;{\sqrt {N}}\,{\bar {x}}$

e quindi

$\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;=\;\sum _{i=1}^{N}{y_{i}}^{2}\;=\;N{\bar {x}}^{2}+\sum _{i=2}^{N}{y_{i}}^{2}.$

Inoltre risulta (per $i>1$)

$\sum _{j=1}^{N}A_{ij}\;=\;\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {1}{\sqrt {i(i-1)}}}\,-\,{\frac {i-1}{\sqrt {i(i-1)}}}\;=\;0$

(12.5)

e, per ogni $i$,

$\sum _{j=1}^{N}{A_{ij}}^{2}\;=\;\left({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {\widetilde {A}}}\right)_{ii}\;=\;\delta _{ii}\;=\;1$.

(12.6)

Tornando al nostro problema, supponiamo ora che tutte le $x_{j}$ siano variabili aventi distribuzione normale; che abbiano tutte valore medio $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}$; ed inoltre che siano tra loro tutte statisticamente indipendenti. Una qualsiasi loro combinazione lineare, quindi anche ognuna delle $y_{i}$ legate alle $x_{j}$ da quella particolare matrice di trasformazione (12.4) che abbiamo prima definita, è anch’essa distribuita secondo la legge normale; inoltre risulta