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11.3 - Media pesata

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Per determinare poi l’errore del risultato ${\bar {x}}$, è in questo caso possibile usare in tutta generalità la formula della propagazione degli errori: infatti ${\bar {x}}$ è una particolare funzione delle variabili $x_{i}$, di ognuna delle quali conosciamo per ipotesi l’errore quadratico medio $\sigma _{i}$; ed inoltre dipende linearmente da ognuna di queste $N$ variabili, e questo fa sì che la formula di propagazione (10.2) sia in questo caso esatta e non approssimata (dando insomma risultati sempre validi, indipendentemente dall’entità degli errori commessi).

Applichiamo direttamente l’equazione (5.5) per la varianza delle combinazioni lineari di variabili tra loro indipendenti, invece della più complicata (10.2): ${\bar {x}}$ è calcolata come combinazione lineare delle $x_{i}$ con coefficienti $1/\left(K\,{\sigma _{i}}^{2}\right)$, e quindi avremo

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}\;=\;\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{K\,{\sigma _{i}}^{2}}}\right)^{2}{\sigma _{i}}^{2}\;=\;{\frac {1}{K^{2}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\;=\;{\frac {1}{K}}$

cioè

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {1}{\sum \limits _{i=1}^{N}{\dfrac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}}}$.

(11.8)

Per la osservata linearità della formula, la media pesata ${\bar {x}}$ (nelle ipotesi ammesse) è una variabile casuale normale come le singole $x_{i}$; ed il suo errore quadratico medio $\sigma _{\bar {x}}$ ha dunque l’analoga interpretazione di semiampiezza dell’intervallo con centro in ${\bar {x}}$ avente probabilità pari al 68% di contenere il valore vero $x^{*}$.

Per quanto concerne le proprietà della media pesata ${\bar {x}}$ come stima del valore vero, la derivata del logaritmo della funzione di verosimiglianza rispetto al parametro incognito (che è $x$) vale

${\frac {\mathrm {d} (\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} x}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}-x\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}=K({\bar {x}}-x)$

ed è soddisfatta la condizione (11.4) sotto la quale il teorema di Cramér-Rao (che esamineremo in dettaglio nell’appendice E) ci permette di affermare che la stima di massima verosimiglianza è anche quella di varianza minima: ovvero, tra tutte le possibili funzioni dei dati che si potrebbero definire per stimare il valore vero $x^{*}$ dal campione, quella mediamente più vicina ad esso.

È da notare come, prima di comporre tra loro determinazioni indipendenti della stessa grandezza, sia opportuno controllare che queste siano (entro