Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/180

164

Capitolo 10 - Le misure indirette

aventi distribuzione normale, ed inoltre tra loro statisticamente indipendenti, è anch’essa distribuita secondo la legge normale.

Ora, sapendo che la distribuzione della F è data dalla funzione di Gauss, siamo anche in grado di attribuire un significato più preciso al suo errore quadratico medio $\sigma _{F}$: quello cioè di semiampiezza dell’intervallo, avente centro sul valore medio $E(F)=F^{*}$, che contiene un qualsiasi valore della F (ed in particolare la nostra miglior stima ${\bar {F}}$) con una probabilità del 68%; o, di converso, la semiampiezza di un intervallo centrato sulla nostra migliore stima ${\bar {F}}$ e che contiene l’ignoto valore vero $F^{*}$ con una probabilità del 68%.

In definitiva le formule precedenti risolvono il problema delle misure indirette per quelle particolari funzioni che sono le combinazioni lineari, permettendoci di calcolare per esse sia il valore stimato più verosimile che l’errore, e dandoci inoltre l’interpretazione probabilistica di questo errore.

10.3 La formula di propagazione degli errori

Ora, qualsiasi funzione di più variabili si può considerare in prima approssimazione lineare; questo se ci limitiamo a considerarla in un dominio di definizione abbastanza ristretto da poter trascurare i termini di ordine superiore al primo in uno sviluppo in serie di Taylor. In definitiva possiamo estendere le conclusioni del paragrafo precedente ad una qualsiasi funzione di più variabili

$F(x,y,z,\ldots )\;\approx$

$({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )+{\frac {\partial F}{\partial x}}\left(x-{\bar {x}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial y}}\left(y-{\bar {y}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}\left(z-{\bar {z}}\right)+\cdots$

per la cui varianza avremo

${\sigma _{F}}^{2}\approx \left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}\!{\sigma _{x}}^{2}+\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\!{\sigma _{y}}^{2}+\left({\dfrac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}\!{\sigma _{z}}^{2}+\cdots$

(10.2)

(le derivate vanno calcolate per i valori $x={\bar {x}}$, $y={\bar {y}}$, $z={\bar {z}},\ldots$ delle variabili indipendenti).

Questa formula è nota sotto il nome di formula di propagazione degli errori: ripetiamo che si tratta di una formula approssimata; che è valida solo se non si commettono errori troppo grandi nelle misure dirette delle variabili; e che presuppone che le variabili stesse siano tra loro statisticamente