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8.1 - La distribuzione uniforme

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minare valori poco probabili rispetto alla $\varphi (x)$, che vengono in conseguenza quasi sempre rifiutati).

8.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distribuzione uniforme

Come ulteriore esempio, applichiamo le conclusioni dei paragrafi 6.6 e 7.1.6 ad un campione di valori proveniente da una distribuzione uniforme. Usando le espressioni per $f(x)$ e $F(x)$ che conosciamo, ed essendo¹

$1-F(x)={\frac {b-x}{b-a}}$,

la (6.18) diventa

$f_{1}(x)=N{\binom {N-1}{i-1}}\,{\frac {(x-a)^{i-1}(b-x)^{N-i}}{(b-a)^{N}}}$

e, in particolare, per i due valori minimo e massimo presenti nel campione le densità di probabilità si scrivono

$f_{1}(x)=N{\frac {(b-x)^{N-1}}{(b-a)^{N}}}$.

e

$f_{N}(x)=N{\frac {(x-a)^{N-1}}{(b-a)^{N}}}$.

Come conseguenza, la speranza matematica di $x_{N}$ vale

$E(x_{N})$	$=\int _{a}^{b}x\cdot f_{N}(x)\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {N}{(b-a)^{N}}}\,\int _{a}^{b}\left[a+(x-a)\right](x-a)^{N-1}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {N}{(b-a)^{N}}}\left[a\,{\frac {(x-a)^{N}}{N}}+{\frac {(x-a)^{N+1}}{N+1}}\right]_{a}^{b}$
	$=a+{\frac {N}{N+1}}(b-a)$
	$=b-{\frac {1}{N+1}}(b-a)$.

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1. All’interno dell'intervallo $[a,b]$; per brevità ometteremo, qui e nel seguito, di specificare che, al di fuori di questo intervallo, le densità di probabilità sono identicamente nulle e le funzioni di distribuzione valgono o zero od uno.