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6.6 - I valori estremi di un campione

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valori ordinati, $x_{i}$: funzione che verrà nel seguito identificata dal simbolo $f_{i}(x)$·

Supponiamo che $x_{i}$ sia compreso nell’intervallo infinitesimo $\left[x,x+\mathrm {d} x\right]$; la scelta di un certo i divide naturalmente il campione (ordinato) in tre sottoinsiemi, ovvero:

1. $x_{i}$ stesso, che può essere ottenuto (dall’insieme non ordinato dei valori originariamente a disposizione) in N maniere differenti; si sa inoltre che è compreso nell’intervallo $\left[x,x+\mathrm {d} x\right]$ — evento, questo, che avviene con probabilità $f(x)\,\mathrm {d} x$.
2. I primi $(i-1)$ valori: questi possono essere ottenuti, dagli $N-1$ elementi restanti dall’insieme non ordinato dei valori originari, in $C_{i-1}^{N-1}$ modi distinti¹; ognuno di essi è inoltre minore di x, e questo avviene con probabilità data da $F(x)$.
3. I residui $(N-i)$ valori: questi sono univocamente determinati dalle due scelte precedenti; inoltre ognuno di essi è maggiore di x, e questo avviene con probabilità $\left[1-F(x)\right]$.

In definitiva, applicando i teoremi della probabilità totale e della probabilità composta, possiamo affermare che risulta

$f_{i}(x)\,\mathrm {d} x=N{\binom {N-1}{i-1}}\,\left[F(x)\right]^{i-1}\,\left[1-F(x)\right]^{N-i}\,f(x)\,\mathrm {d} x$;

(6.18)

in particolare, i valori estremi $x_{1}$ e $x_{N}$ hanno densità di probabilità date da

$f_{1}(x)=N\left[1-F(x)\right]^{N-1}f(x)$

e da

$f_{N}(x)=N\left[F(x)\right]^{N-1}f(x)$.

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1. $C_{K}^{N}$ è il numero delle combinazioni di classe K di N oggetti; si veda in proposito il paragrafo A.6.