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La curva $\Sigma$ coincide colla Steineriana quando le curve $A$ sono le prime polari de’ punti corrispondenti, rispetto ad una curva fondamentale (Introd. 88, d).

La retta $R$ che corrisponde al punto $p$ tocca (Introd. 118) in $a$ la curva $\Sigma$; ossia:

La curva $\Sigma$ è l’inviluppo delle rette $R$ che corrispondono ai punti della Jacobiana.

Di qui si può immediatamente concludere la classe della curva $\Sigma$, non che le singolarità della medesima, e si avranno quindi le formole (Introd. 119-121) esprimenti: quanti fasci vi siano in una data rete qualsivoglia le curve de’ quali si tocchino in due punti distinti, o abbiano fra loro un contatto tripunto; e quante curve contenga la rete le quali siano dotate di due punti doppi o di una cuspide.

19. E qui giova notare che quelle formole presuppongono la Jacobiana sprovveduta d’ogni punto multiplo. Ma è ben facile di assegnare le modificazioni che subirebbero i risultati medesimi quando la Jacobiana avesse punti multipli.

Se le curve di una rete hanno $d$ punti comuni con tangenti distinte, ed altri $k$ punti comuni ne’ quali esse si tocchino, la Jacobiana avrà (Introd. 96, 97) in ciascun di quelli un punto doppio, ed in ciascun di questi un punto triplo con due tangenti coincidenti nella tangente comune alle curve della rete [46]. Ne segue che quei punti equivalgono a $2d+4k$ intersezioni della Jacobiana con una qualunque delle curve della rete, epperò (Introd. 118, b) la classe di $\Sigma$ sarà

$3n(n-1)-2d-4k$.

Supponiamo poi che, astrazione fatta dai punti comuni alle curve della rete, la Jacobiana abbia altri $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi. Allora (Introd. 103) l’ordine del luogo di un punto a cui corrisponda una curva $A$ tangente alla Jacobiana sarà

$3(n-1)(5n-6)-2(d+\delta )-3\chi -7k$; [47]

epperò il numero dei flessi di $\Sigma$ sarà (Introd. 118, d)

$3(n-1)(4n-5)-2(d+\delta )-3\chi -7k$, [48]

donde si concluderanno poi, colle formole di Plücker, le altre singolarità della curva.

Se le curve della rete avessero un punto $(r)$^plo comune, il medesimo sarebbe multiplo secondo $3r-1$ per la Jacobiana. Siccome poi un fascio qualunque della rete conterrà, oltre a quel punto, solamente altri $3(n-1)^{2}-(r-1)(3r+1)$ punti doppi (8), così l’ordine di $\Sigma$ subirà in questo caso la diminuzione di $(r-1)(3r+1)$ unità (Introd. 88, d)¹, ecc.

1. <E la classe di $\Sigma$ subirà la diminuzione $r(3r-1)$.>