Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

by Luigi Cremona

Art. 17. Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 17. Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Applicazione alle curve di second'ordine

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Art. XVII.

Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data.

103. Se un punto, considerato come polo rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$, percorre un’altra curva data ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$, la retta polare inviluppa una curva ${\rm {K}}$, la quale abbiamo già trovato (81) essere della classe $m(n-1)$. Le tangenti che da un punto qualunque $o$ si possono condurre a ${\rm {K}}$ sono le rette polari degli $m(n-1)$ punti, ne’ quali ${\rm {C_{m}}}$ è intersecata dalla prima polare di $o$.

(a) Se $o$ è tal punto che la sua prima polare sia tangente a ${\rm {C_{m}}}$, due rette polari passanti per $o$ sono coincidenti, cioè $o$ è un punto della curva ${\rm {K}}$ (30); questa è dunque il luogo geometrico de’ poli le cui prime polari toccano ${\rm {C_{m}}}$. Questa proprietà ci mette in grado di trovare l’ordine di ${\rm {K}}$, cioè il numero de’ punti in cui ${\rm {K}}$ è incontrata da una retta arbitraria ${\rm {L}}$. Le prime polari de’ punti di ${\rm {L}}$ formano un fascio (77); onde, supposto che ${\rm {C_{m}}}$ abbia $\delta$ punti doppi, e $\chi$ cuspidi, vi saranno $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ punti in ${\rm {L}}$, le cui prime polari sono tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (87, c). Dunque ${\rm {K}}$ è dell’ordine $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ {cioè $2m(n-2)+\mathrm {M}$, ove ${\rm {M}}$ è la classe di ${\rm {C_{m}}}$}¹.

È poi evidente che le tangenti stazionarie di ${\rm {K}}$ sono le rette polari de’ punti stazionari di ${\rm {C_{m}}}$; donde segue che ${\rm {K}}$ ha $\chi$ flessi.

Conoscendo così la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi della curva ${\rm {K}}$, mediante le formule di Plücker (99, 100) troveremo che essa ha inoltre:

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$ punti doppi,

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$ cuspidi e ${\frac {1}{2}}m(n-2)(mn-3)+\delta$ tangenti doppie.

(b) È manifesto che ogni punto doppio di ${\rm {K}}$ è il polo di una prima polare tangente a ${\rm {C_{m}}}$ in due punti distinti; che ogni cuspide di ${\rm {K}}$ è il polo di una prima polare avente con ${\rm {C_{m}}}$ un contatto tripunto; e che ogni tangente doppia di ${\rm {K}}$ è una retta avente o due poli distinti sulla curva ${\rm {C_{m}}}$, o due poli riuniti in un punto doppio di questa curva.

Siccome le proprietà del sistema delle prime polari (relative a ${\rm {C_{n}}}$) valgono per una rete qualsivoglia di curve², così da quanto precede si raccoglie:

1.º Il numero delle curve d’una rete d’ordine $n-1$, le quali abbiano doppio contatto con una data linea d’ordine $m$, fornita di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$.

2.º Il numero delle curve della stessa rete aventi coll’anzidetta linea d’ordine $m$ un contatto tripunto è $3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$³.

(c) Ogni punto della curva ${\rm {K}}$ è polo di una prima polare tangente a ${\rm {C_{m}}}$; onde, considerando le intersezioni delle curve ${\rm {K}}$ e ${\rm {C_{m}}}$, si ha:

In una curva ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e di $\chi$ cuspidi, vi sono $m^{2}(m+2n-5)-m(2\delta +3\chi )$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ toccano la medesima ${\rm {C_{m}}}$.

Di qui per $m=1$ si ricava:

In una retta qualunque vi sono $2(n-2)$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ toccano la retta medesima.

Se la retta è tangente a ${\rm {C_{n}}}$, nel contatto coincidono due di quei $2(n-2)$ poli. Dunque in una retta tangente a ${\rm {C_{n}}}$ esistono $2(n-3)$ punti, ciascun de’ quali è polo di una prima polare tangente in altro punto alla retta medesima.

(d) Se nella ricerca superiore, la curva ${\rm {C_{m}}}$ si confonde con ${\rm {C_{n}}}$, la linea ${\rm {K}}$ si compone evidentemente della ${\rm {C_{n}}}$ medesima e delle sue tangenti stazionarie, perchè ogni punto di quella e di queste è polo di una prima polare tangente alla curva fondamentale (71, 80). In tal caso, i punti doppi di ${\rm {K}}$ sono le intersezioni delle tangenti stazionarie fra loro e colla curva ${\rm {C_{n}}}$; le cuspidi di ${\rm {K}}$ sono rappresentate dai flessi di ${\rm {C_{n}}}$, ciascuno contato due volte; e le tangenti doppie di ${\rm {K}}$ sono le stazionarie e le doppie di ${\rm {C_{n}}}$.

I punti doppi di ${\rm {K}}$ sono (b) i poli d’altrettante prime polari doppiamente tangenti alla curva fondamentale. Ed invero: se $o$ è un punto comune a due tangenti stazionarie di questa, la prima polare di $o$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ ne’ due flessi corrispondenti (80); e se $o$ è un punto di segamento di ${\rm {C_{n}}}$ con una sua tangente stazionaria, la prima polare di $o$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ in $o$ (71) e nel punto di contatto di questa tangente (80). Sonvi adunque $3n(n-2)(n-3)$ prime polari doppiamente tangenti a ${\rm {C_{n}}}$, i cui poli giacciono in ${\rm {C_{n}}}$ medesima; e vi sono altre ${\tfrac {3}{2}}n(n-2)(3n(n-2)-1)$ prime polari pur doppiamente tangenti, i cui poli sono fuori di ${\rm {C_{n}}}$.

(e) La curva ${\rm {K}}$, inviluppo delle polari $(n-1)$^me de’punti di ${\rm {C_{m}}}$, si chiamerà l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {C_{m}}}$⁴.

Facendo $m=1$, troviamo che l’$(n-1)$^ma polare di una retta ${\rm {R}}$, cioè l’inviluppo delle rette polari de’ punti di ${\rm {R}}$, od anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti ad ${\rm {R}}$, è una curva della classe $n-1$ e dell’ordine $2(n-2)$, con $3(n-3)$ cuspidi, $2(n-3)(n-4)$ punti doppi ed ${\tfrac {(n-2)(n-3)}{2}}$ tangenti doppie; cioè:

Vi sono $3(n-3)$ prime polari, per le quali una data retta ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria; $2(n-3)(n-4)$ prime polari, per le quali ${\rm {R}}$ è una tangente doppia; ed inoltre ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in ${\rm {R}}$.

(f) Se l’$(n-1)$^ma polare della retta ${\rm {R}}$ passa per un dato punto $o$, questo è il polo di una prima polare tangente ad ${\rm {R}}$ (e); talchè se l’$(n-1)$^ma polare varia girando intorno al punto fisso $o$, la retta ${\rm {R}}$ invilupperà la prima polare di $o$. Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto:

La prima polare di un punto $o$ è il luogo de’ poli le cui $(n-1)$^me polari s’incrociano in $o$, ed è anche l’inviluppo delle rette le cui $(n-1)$^me polari passano per $o$.

104. Supposto che un polo $p$ percorra una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$, avente $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, di qual indice è la serie (34) generata dalla polare $(r)$^ma di $p$ rispetto alla linea fondamentale ${\rm {C_{n}}}$, e quale ne sarà l’inviluppo?

(a) Se la polare $(r)$^ma di $p$ passa per un punto $o$, il polo sarà nella polare $(n-r)$^ma di $o$ (69, a), cioè sarà una delle $rm$ intersezioni di questa polare colla proposta curva ${\rm {C_{m}}}$. Dunque per $o$ passano $rm$ polari $(r)$^me di punti situati in ${\rm {C_{m}}}$, cioè le polari $(r)$^me de’ punti di ${\rm {C_{m}}}$ formano una serie d’indice $rm$.

(b) Se l’$(n-r)$^ma polare di $o$ tocca in un punto ${\rm {C_{m}}}$, avremo in $o$ due $(r)$^me polari coincidenti, ossia $o$ sarà un punto della linea inviluppata dalle curve della serie anzidetta. Dunque:

L’inviluppo delle polari $(r)$^me de’ punti di una curva ${\rm {C_{m}}}$ è anche il luogo de’ poli delle polari $(n-r)$^me tangenti a ${\rm {C_{m}}}$.

(c) Quale è l’ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in una retta arbitraria ${\rm {L}}$, le polari $(n-r)$^me de’ quali tocchino ${\rm {C_{m}}}$? Le polari $(n-r)$^me de’ punti di una retta ${\rm {L}}$ formano (a) una serie d’ordine $r$ e d’indice $n-r$; epperò (87, c) ve ne sono $(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$ che toccano ${\rm {C_{m}}}$. Donde segue che:

L’inviluppo delle polari $(r)$^me de’ punti di una curva d’ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è una linea dell’ordine $(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$.

Questa linea si denominerà polare $(r)$^ma della data curva ${\rm {C_{m}}}$ rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$⁵.

(d) Fatto $r=1$ ed indicata con $m'$ la classe di ${\rm {C_{m}}}$, cioè posto $m'=m(m-1)-(2\delta +3\chi )$ (99), si ha:

La prima polare di una curva della classe $m'$, cioè il luogo dei poli delle rette tangenti di questa, è una linea dell’ordine $m'(n-1)$.

Questa linea passa pei punti ove la curva fondamentale è toccata dalle tangenti comuni ad essa ed alla curva della classe $m'$.

Se $m'=1$, ricadiamo nella definizione della prima polare di un punto (103, f).

(e) Posto $m=1$, troviamo che la polare $(r)$^ma di una retta è una linea dell’ordine $2(r-1)(n-r)$. Quindi la prima polare di una retta è dell’ordine zero; infatti essa è costituita dagli $(n-1)^{2}$ poli della retta data (77).

Per $r=n-1$, si ricade in un risultato già ottenuto (103, e).

(f) L’ordine della linea polare $(r)$^ma di una retta ${\rm {R}}$ si può determinare direttamente come segue. A tal uopo consideriamo quella linea come luogo de’ punti comuni a due curve successive della serie d’indice $r$ e d’ordine $n-r$, formata dalle polari $(r)$^me de’ punti di ${\rm {R}}$ (34).

Se $a$ è un punto qualunque di ${\rm {R}}$, le polari $(r)$^me passanti per $a$ hanno i loro rispettivi poli nella polare $(n-r)$^ma di $a$, la quale sega ${\rm {R}}$ in $r$ punti $a'$. Se invece assumiamo ad arbitrio un punto $a'$, la sua polare $(r)$^ma sega ${\rm {R}}$ in $n-r$ punti $a$; talchè, riferiti i punti $a,\,a'$ ad una stessa origine $o$, fra i segmenti $oa,\,oa'$ avrà luogo un’equazione del grado $r$ in $oa'$ e del grado $n-r$ in $oa$. Il punto $a$ apparterrebbe alla linea cercata, se due delle $r$ polari $(r)$^me passanti per esso fossero coincidenti. Ma la condizione perchè l’equazione anzidetta dia due valori eguali per $oa'$ è del grado $2(r-1)$ rispetto ai coefficienti della medesima, e per conseguenza del grado $2(r-1)(n-r)$ rispetto ad $oa$. Sono adunque $2(r-1)(n-r)$ i punti comuni al luogo richiesto ed alla retta ${\rm {R}}$; ossia l’inviluppo delle polari $(r)$^me de’ punti di una retta data è una linea dell’ordine $2(r-1)(n-r)$.

Le stesse considerazioni si possono applicare, in molti casi, alla ricerca dell’ordine della linea che inviluppa le curve d’una data serie. Per esempio, se la serie è d’indice $r$ e d’ordine $s$, e se si può assegnare una punteggiata projettiva alla serie (cioè se fra le curve della serie e i punti di una retta si può stabilire tale corrispondenza che ad ogni punto della retta corrisponda una curva della serie, e viceversa), l’inviluppo sarà dell’ordine $2(r-1)s$. Di qui per $s=1$ si ricava:

Se una curva della classe $r$ è tale che si possa assegnare una punteggiata projettiva alla serie delle sue tangenti, l’ordine della curva è solamente $2(r-1)$.

(g) Se la polare $(n-r)$^ma di una retta passa per un dato punto $o$, questo è (b) il polo di una polare $(r)$^ma tangente a quella retta. Dunque:

La polare $(r)$^ma di un punto $o$, ossia il luogo de’ punti le cui $(n-r)$^me polari passano per $o$, è anche l’inviluppo delle rette le polari $(n-r)$^me delle quali contengono il punto $o$.

Così le polari de’ punti e delle linee sono definite in doppio modo, e come luoghi e come inviluppi. Egli è appunto in questa doppia definizione che sembra risiedere il segreto della grande fecondità della teoria delle curve polari.

(h) La polare $(r)$^ma di una curva ${\rm {C}}$ tocchi un’altra curva ${\rm {C'}}$ nel punto $o$. In $o$ quella polare toccherà la polare $(r)$^ma di un punto $o'$ di ${\rm {C}}$; e viceversa (b) in $o'$ la curva ${\rm {C}}$ sarà toccata dalla polare $(n-r)$^ma di $o$. Ma la polare $(r)$^ma di $o'$ tocca in $o$ anche ${\rm {C'}}$; dunque la polare $(n-r)$^ma di $o$ toccherà in $o'$ la polare $(n-r)$^ma di ${\rm {C'}}$; ossia:

Se la polare $(r)$^ma di una curva ${\rm {C}}$ tocca un’altra curva ${\rm {C'}}$, reciprocamente la polare $(n-r)$^ma di ${\rm {C'}}$ tocca ${\rm {C}}$.

(k) Una retta ${\rm {R}}$ sia l’$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di un altro punto $o'$ ovvero, ciò che è la medesima cosa (69, c), la polare $(n-r)$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r-1)$^ma di $o$. Se ${\rm {R}}$ varia ed inviluppa una curva qualunque ${\rm {C}}$, restando fisso il punto $o'$, il luogo del punto $o$ sarà (d) la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di $o'$. Se invece resta fisso il punto $o$, mentre ${\rm {R}}$ inviluppa la curva ${\rm {C}}$, il luogo di $o'$ sarà la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(r-1)$^ma polare di $o$. Dunque:

Se la prima polare di una curva ${\rm {C}}$ rispetto all’$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ passa per un altro punto $o'$, la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di $o'$ passerà per $o$; e viceversa.

105. L’$(n-1)$^ma polare di una curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$ è (81) una linea ${\rm {K}}$ della classe $m(n-1)$. Reciprocamente, la prima polare di ${\rm {K}}$ sarà (104, d) una linea dell’ordine $m(n-1)^{2}$. Questa linea comprende in sè la data curva ${\rm {C_{m}}}$, perchè ${\rm {K}}$ è non solo l’inviluppo delle rette polari dei punti di ${\rm {C_{m}}}$, ma anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103, a). Dunque, allorchè un punto $o$ percorre la curva ${\rm {C_{m}}}$, gli altri $(n-1)^{2}-1$ poli della retta polare di $o$ descriveranno una linea dell’ordine $m(n-1)^{2}-m=mn(n-2)$.

A questo risultato si arriva anche cercando la soluzione del problema: quando un punto $o$ percorre una data linea, quale è il luogo degli altri poli della retta polare di $o$?

Supposto dapprima che la data linea sia una retta ${\rm {R}}$, cerchiamo in quanti punti essa seghi il luogo richiesto. Siccome (103, e) vi sono ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in ${\rm {R}}$, così gli $(n-2)(n-3)$ poli di tali rette sono altrettanti punti del luogo. Inoltre ricordiamo (90, b) che in ogni punto dell’Hessiana coincidono due poli d’una medesima retta, talchè le $3(n-2)$ intersezioni dell’Hessiana con ${\rm {R}}$ sono comuni al luogo di cui si tratta. Questo luogo ha dunque $(n-2)(n-3)+3(n-2)$ punti comuni con ${\rm {R}}$, vale a dire, esso è dell’ordine $n(n-2)$.

Se invece è data una linea ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, assunta un’arbitraria retta ${\rm {R}}$, cerchiamo quante volte avvenga che una stessa retta abbia un polo in ${\rm {R}}$ ed un altro in ${\rm {C_{m}}}$. I poli congiunti ai punti di ${\rm {R}}$ sono, come or si è dimostrato, in una linea dell’ordine $n(n-2)$, la quale sega ${\rm {C_{m}}}$ in $mn(n-2)$ punti. Dunque vi sono $mn(n-2)$ punti in ${\rm {C_{m}}}$, ciascun de’ quali ha un polo congiunto in ${\rm {R}}$; ossia:

Se un polo descrive una curva d’ordine $m$, il luogo degli altri poli congiunti è una linea dell’ordine $mn(n-2)$.⁶

106. Imaginiamo un polo che si muova percorrendo una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$; quale sarà il luogo delle intersezioni della prima colla seconda polare del polo mobile, rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$? Assunta una retta arbitraria ${\rm {R}}$, se per un punto $i$ di essa passa una prima polare, il polo giace nella retta polare di $i$; questa retta sega ${\rm {C_{m}}}$ in $m$ punti, le seconde polari dei quali incontreranno ${\rm {R}}$ in $m(n-2)$ punti $i'$. Se invece si assume ad arbitrio in ${\rm {R}}$ un punto $i'$ pel quale debba passare una seconda polare, il polo sarà nella conica polare di $i'$, che taglia ${\rm {C_{m}}}$ in $2m$ punti; le prime polari di questi determinano in ${\rm {R}}$ $2m(n-1)$ punti $i$. Così vediamo che ad ogni punto $i$ corrispondono $m(n-2)$ punti $i'$, mentre ad ogni punto $i'$ corrispondono $2m(n-1)$ punti $i$; talchè (83) vi saranno (in ${\rm {R}}$) $m(n-2)+2m(n-1)=m(3n-4)$ punti $i$, ciascun de’ quali coincida con uno de’ corrispondenti $i'$; cioè il luogo richiesto è una curva ${\rm {U}}$ dell’ordine $m(3n-4)$. Evidentemente questa curva tocca ${\rm {C_{n}}}$ negli $mn$ punti comuni a ${\rm {C_{m}}}$ e ${\rm {C_{n}}}$ perchè in ciascuno di questi punti le polari prima e seconda si toccano fra loro e toccano ${\rm {C_{n}}}$ (71).

Inoltre, siccome per un flesso della curva fondamentale passa la prima e la seconda polare di ogni punto della relativa tangente stazionaria (80), così la curva ${\rm {U}}$ passerà pel flesso di ${\rm {C_{n}}}$ tante volte quanti sono i punti comuni a ${\rm {C_{m}}}$ ed alla tangente stazionaria. Dunque la curva ${\rm {U}}$ passa $m$ volte per ciascuno dei $3n(n-2)$ flessi di ${\rm {C_{n}}}$⁷.

(a) Se ${\rm {C_{m}}}$ coincide con ${\rm {C_{n}}}$, la linea ${\rm {U}}$ contiene manifestamente due volte la curva fondamentale; prescindendo da questa, rimarrà una curva dell’ordine $3n(n-2)$, per la quale i flessi di ${\rm {C_{n}}}$ sono punti $(n-2)$^pli. Dunque, se un polo percorre la curva fondamentale, gli $(n-1)(n-2)-2$ punti in cui si segano le polari prima e seconda generano una linea dell’ordine $3n(n-2)$, avente $n-2$ branche passanti per ciascun flesso di ${\rm {C_{n}}}$, una delle quali ha ivi con ${\rm {C_{n}}}$ un contatto tripunto. Il che riesce evidente, considerando che ogni tangente stazionaria della curva fondamentale ha con questa $n-2$ punti comuni, cioè il flesso ed $n-3$ intersezioni semplici.

(b) Analogamente si dimostra che, se il polo percorre la curva ${\rm {C_{m}}}$, le intersezioni delle polari $(r)$^ma ed $(s)$^ma descrivono una linea dell’ordine $mn(r+s)-2mrs$, la quale tocca la curva fondamentale ne’ punti comuni a questa ed a ${\rm {C_{m}}}$. È da notarsi che il numero $mn(r+s)-2mrs$ non cambia sostituendo $n-r$, $n-s$ ad $r$, $s$.

Note

1. Qui l’A. continua, in margine ad (A) (cfr. la nota seguente):
   Ne segue che il numero delle curve di una rete d’ordine $n-1$, che toccano due curve i cui ordini siano $m,\,m'$, e le classi ${\rm {M,\,M'}}$, è

   $4(n-2)^{2}mm'+2(n-2)(m\mathrm {M} '+m'\mathrm {M} )+\mathrm {MM} '$.

2. In margine a queste due righe, l’Autore ha scritto a matita: no. Certamente l’asserzione contenuta nel testo è eccessiva, poichè una rete qualsivoglia di curve non è in generale un sistema di prime polari. Ma finchè si tratta di problemi numerativi, determinati, su reti di curve, la sostituzione di queste con reti di prime polari si può riguardare come un’applicazione del principio della conservazione del numero. Essa è fatta, non solo qui in (103b), ma anche nel seguito, come nei n. 119, 120, 121. — Cfr. la giustificazione, che poi ne è data al n. 17 della Memoria 53.
3. Bischoff, l. c. p. 174-176.
4. Occorre quindi nel seguito distinguere bene fra polare di un punto e polare di una curva.     [Einleitung]
5. Steiner, l. c. p. 2-3. — V. anche la nota **) alla pag. precedente.
6. {I punti comuni alle due curve d’ordine $m$ ed $mn(n-2)$ sono le $3m(n-2)$ intersezioni della prima curva coll’Hessiana [di ${\rm {C_{n}}}$], ed i punti [le coppie di punti distinti] di quella stessa prima curva che sono poli delle tangenti doppie della curva ${\rm {K}}$ (103).}
7. Clebsch, Ueber eine Classe von Eliminationspröblemen und über einige Punkte der Theorie der Polaren (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1861, p. 279).