Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 465
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15.
SOLUTION DE LA QUESTION 465.[1]
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.re série, tome XIX (1860), pp. 151-153.
Soient a0, a1, ..., an—1, n quantités quelconques; α une racine primitive de l’équation binôme
et
en supposant αr = αr.
Multiplions entre eux les deux déterminants
En exécutant la multiplication par lignes, les colonnes du déterminant produit deviennent divisibles respectivement par θ1, θ2, ..., θn , et l’on a
Or le determinant du second membre est évidemment égal a [2]; donc
Le théorème, mentionné par M. Michael Roberts (Nouvelles Annales, cahier de mars 1859, p. 87), est de M. Spottiswoode (Journal de Crelle, t. LI); la démonstration ci-dessus m’a été communiquée par M. Brioschi, et je l’ai publiée comme lemme dans une petite Note Intorno ad un teorema di Abel (Annali di Tortolini, 1856) [Memoria 2 di questo volume].
En supposant
il s’ensuit
et
donc
et, par conséquent,
ce qui est bien la question 465.
Note
- ↑ [p. 493 modifica]Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est
, , , , sont les premiers membres des équations des faces mises sous la formereprésente l’angle que fait la face avec la face , l’angle que fait l’intersection des faces et avec l’intersection des faces et . (Prouhet).
465.
Si l’on faiton retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).
494. Soient , deux triangles dans le même plan; est un point variable, tel que les droites , , coupent respectivement les côtés , , en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point est une ligne du troisième ordre.
498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe . Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point , tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné .
Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 modifica]
499. Soient: 1.º , , , quatre droites dans un même plan, et , , , quatre points fixes dans ce plan; par menons une droite quelconque coupant C et D aux points et ; par et menons la droite coupant et aux points et ; par et menons la droite et par et la droite ; l’intersection des droites et decrit une ligne du troisième ordre.
2.º Soit un quadrilatère plan variable ; , , , quatre points fixes; sur , sur , sur , sur . Les sommets opposés et sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés , décrivent des lignes du troisième ordre.
- ↑ [p. 494 modifica]Qui si è corretto l’esponente di , che nell’originale era . Così poi, alla fine, stava per esponente, mentre dev’essere . Cfr. la nota [2].