Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 465

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Solution de la question 465

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Solution de la question 464

Sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale de la question 498

►

[p. 114 modifica]

15.

SOLUTION DE LA QUESTION 465.^[1]

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XIX (1860), pp. 151-153.

Soient a₀, a₁, ..., a_n—1, n quantités quelconques; α une racine primitive de l’équation binôme

xⁿ — 1 = 0

et

θ_r = a₀ + a₁α_r + a₂α_r² + ... + a_n—1α_r^n—1

en supposant α_r = α^r.

Multiplions entre eux les deux déterminants

$\mathrm {D} ={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{0}\\a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots &a_{1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n-1}&a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n-2}\end{vmatrix}}$

$\Delta ={\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n-1}\\1&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{n-1}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}^{n-1}&\alpha _{2}^{n-1}&\cdots &\alpha _{n-1}^{n-1}\end{vmatrix}}.$

En exécutant la multiplication par lignes, les colonnes du déterminant produit [p. 115 modifica]deviennent divisibles respectivement par θ₁, θ₂, ..., θ_n , et l’on a

$\mathrm {D} \Delta =\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}{\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{n-1}&\alpha _{n-1}^{2}&\cdots &\alpha _{n-1}^{n-1}\\1&\alpha _{n-2}&\alpha _{n-2}^{2}&\cdots &\alpha _{n-2}^{n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\end{vmatrix}}.$

Or le determinant du second membre est évidemment égal a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$ ^[2]; donc

$\mathrm {D} =(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}.$

Le théorème, mentionné par M. Michael Roberts (Nouvelles Annales, cahier de mars 1859, p. 87), est de M. Spottiswoode (Journal de Crelle, t. LI); la démonstration ci-dessus m’a été communiquée par M. Brioschi, et je l’ai publiée comme lemme dans une petite Note Intorno ad un teorema di Abel (Annali di Tortolini, 1856) [Memoria 2 di questo volume].

En supposant

a_r = a + rd,

il s’ensuit

\theta _{r}={\frac {nd}{\alpha _{r}-1}}

pour r = 1, 2, ..., n — 1

et

θ_n = na +

{\frac {n(n-1)}{2}}

d;

donc

θ₁θ₂...θ_n—1 = (— 1)^n—1n^n—2d^n—1,

et, par conséquent,

$\mathrm {D} ={\begin{vmatrix}a&a+d&\cdots &a+(n-1)d\\a+d&a+2d&\cdots &a\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(n-1)d&a&\cdots &a+(n-2)d\end{vmatrix}}$ $=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(nd)^{n-1}\left[a+{\frac {(n-1)d}{2}}\right],$

ce qui est bien la question 465.

Note

↑ [p. 493 modifica]Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est

$\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$

$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

$x\cos \alpha +y\cos \alpha '+z\cos \alpha ''-p=0,$

$(\gamma ,\delta )$ représente l’angle que fait la face $\gamma$ avec la face $\delta$ , $(\alpha \gamma ,\beta \gamma )$ l’angle que fait l’intersection des faces $\alpha$ et $\gamma$ avec l’intersection des faces $\beta$ et $\gamma$ . (Prouhet).

465.

${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$

Si l’on fait

$\alpha =\delta =1$

on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).

494. Soient $\mathrm {ABC}$ , $abc$ deux triangles dans le même plan; $q$ est un point variable, tel que les droites $qa$ , $qb$ , $qc$ coupent respectivement les côtés $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {AC}$ , $\mathrm {AB}$ en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point $q$ est une ligne du troisième ordre.

498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe $\mathrm {A}$ . Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point $\mathrm {A}$ une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point $\mathrm {B}$ , tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné $k^{2}$ .

Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 modifica]

499. Soient: 1.º $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {D}$ quatre droites dans un même plan, et $m$ , $o$ , $l$ , $s$ quatre points fixes dans ce plan; par $m$ menons une droite quelconque coupant C et D aux points $c$ et $d$ ; par $c$ et $o$ menons la droite $co$ coupant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ aux points $a$ et $b$ ; par $a$ et $l$ menons la droite $al$ et par $c$ et $s$ la droite $cs$ ; l’intersection $p$ des droites $al$ et $cs$ decrit une ligne du troisième ordre.

2.º Soit un quadrilatère plan variable $\mathrm {ABCD}$ ; $o$ , $p$ , $q$ , $r$ quatre points fixes; $o$ sur $\mathrm {AB}$ , $p$ sur $\mathrm {BC}$ , $q$ sur $\mathrm {CD}$ , $r$ sur $\mathrm {DA}$ . Les sommets opposés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés $\mathrm {B}$ , $\mathrm {D}$ décrivent des lignes du troisième ordre.
↑ [p. 494 modifica]Qui si è corretto l’esponente di $-1$ , che nell’originale era ${\frac {n(n-1)}{2}}$ . Così poi, alla fine, stava per esponente ${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ , mentre dev’essere ${\frac {n(n-1)}{2}}$ . Cfr. la nota [²].

[1] [p. 493 modifica]Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est

$\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$

$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

$x\cos \alpha +y\cos \alpha '+z\cos \alpha ''-p=0,$

$(\gamma ,\delta )$ représente l’angle que fait la face $\gamma$ avec la face $\delta$ , $(\alpha \gamma ,\beta \gamma )$ l’angle que fait l’intersection des faces $\alpha$ et $\gamma$ avec l’intersection des faces $\beta$ et $\gamma$ . (Prouhet).

465.

${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$

Si l’on fait

$\alpha =\delta =1$

on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).

494. Soient $\mathrm {ABC}$ , $abc$ deux triangles dans le même plan; $q$ est un point variable, tel que les droites $qa$ , $qb$ , $qc$ coupent respectivement les côtés $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {AC}$ , $\mathrm {AB}$ en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point $q$ est une ligne du troisième ordre.

498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe $\mathrm {A}$ . Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point $\mathrm {A}$ une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point $\mathrm {B}$ , tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné $k^{2}$ .

Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 modifica]

499. Soient: 1.º $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {D}$ quatre droites dans un même plan, et $m$ , $o$ , $l$ , $s$ quatre points fixes dans ce plan; par $m$ menons une droite quelconque coupant C et D aux points $c$ et $d$ ; par $c$ et $o$ menons la droite $co$ coupant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ aux points $a$ et $b$ ; par $a$ et $l$ menons la droite $al$ et par $c$ et $s$ la droite $cs$ ; l’intersection $p$ des droites $al$ et $cs$ decrit une ligne du troisième ordre.

2.º Soit un quadrilatère plan variable $\mathrm {ABCD}$ ; $o$ , $p$ , $q$ , $r$ quatre points fixes; $o$ sur $\mathrm {AB}$ , $p$ sur $\mathrm {BC}$ , $q$ sur $\mathrm {CD}$ , $r$ sur $\mathrm {DA}$ . Les sommets opposés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés $\mathrm {B}$ , $\mathrm {D}$ décrivent des lignes du troisième ordre.

[2] [p. 494 modifica]Qui si è corretto l’esponente di $-1$ , che nell’originale era ${\frac {n(n-1)}{2}}$ . Così poi, alla fine, stava per esponente ${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ , mentre dev’essere ${\frac {n(n-1)}{2}}$ . Cfr. la nota [²].

[1]

[2]