Matematiche Fascicolo secondo/Tema secondo - Capitolo I/Caso III
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CASO III.
Estrazione delle Radici, e segnatamente della Radice quadrata e cubica.
15 Abbiamo fin qui parlato della Sottrazione in due casi soltanto, cioè nel primo, in cui i diminutori, essendo disuguali ed anche uguali tra loro, sono dati di numero e di grandezza; nel secondo, in cui, dovendo esser tutti uguali tra loro, sono dati di numero e non di grandezza; oppure, se sì vuole, di grandezza e non di numero; ma però nella prima ipotesi si esige, che siano i più grandi possibili; e nella seconda, che sia il più grande possibile il loro numero, acciocchè nell’una, o nell’altra, venendo essi sottratti dal diminuendo, lascino il più piccolo resto possibile.
Resta ora a trattarsi del terzo caso, in cui i diminutori dovendo esser pure uguali, non si assegna nè il loro numero, nè la loro grandezza; ma si esige però che riescano precisamente tanti, quante unità conterrà uno di essi, oppure la di lui seconda, terza,... potenza, e nello stesso tempo resultino i più grandi possibili, acciocchè, venendo tutti sottratti dal diminuendo, lascino pure il più piccolo resto possibile.
In questo caso adunque si vede, che tutto si ridurrà a determinare le successive cifre d’un numero il più grande possibile, di cui il quadrato, o cubo, o quarta,..... potenza possa esser contenuta in un numero proposto. E siccome da questo secondo numero deve ricavarsi, od estrarsi il primo incognito, il quale si può riguardare come il generatore o la Radice della potenza, che si considera, così alla operazione, che si userà, daremo il nome di Estrazione delle Radici, le quali si diranno o quadrate, o cubiche, o quarte,...... secondo che la potenza del più gran numero che si cerca, contenuta nel proposto, si vuole che sia un quadrato o un cubo, o una quarta,... potenza.
Quindi è, che, sebbene la Estrazione delle radici, considerata come un caso particolare della sottrazione, debba avere per scopo la determinazione del resto, o Residuo, che si deve avere dopo la sottrazione da un numero proposto della più gran potenza, come suol dirsi, in esso contenuta, pure la stessa operazione serve anche egualmente alla determinazione della radice di questa potenza medesima, la quale sottratta dal numero proposto lo esaurisce più da vicino d’una potenza del medesimo grado d’una radice diversa; e sotto questo punto di vista la Estrazione delle radici si può riguardare come una operazione inversa alla Elevazione a potenze.
Del resto chiamandosi potenza perfetta di un numero una di lui potenza qualunque; quando questa sia la più grande possibile, che entri in un altro numero, noi potremo chiamare questo secondo numero potenza più che perfetta del primo, il quale si dirà a vicenda radice perfetta od imperfetta del medesimo grado o nome della potenza corrispondente perfetta, o più che perfetta.
16. Volendosi occupare soltanto della estrazione delle radici quadrate e cubiche, bisognerà qui ritornare colla nostra mente sul modo di composizione delle cifre d’un quadrato e d’un cubo d’un numero per mezzo di quelle di questo stesso numero, considerato come radice quadrata o cubica. (Tema primo pag. 58, e seg.), giacchè da questo modo soltanto diretto potrà ricavarsi il modo inverso di operare per la decomposizione.
E primieramente, osservando gli esempj (ivi pag.61, secondo l’avvertenza di pag. 59, 3°) dati del quadrato, è facile rilevare, che, se un quadrato, scritto colle cifre tutte equidistanti tra loro, si spezza, a cominciar da destra, per mezzo di virgole in parti, o classi, di due cifre ciascuna (potendo l’ultima classe a sinistra restare anche d’una cifra sola), in retrocedendo poi da sinistra verso destra,
1.° La prima classe conterrà sicuramente il quadrato della prima cifra della radice,
2.° Le due prime classi conterranno sicuramente il quadrato delle due prime cifre della radice,
3.° Le tre prime classi conterranno sicuramente il quadrato delle tre prime cifre della radice; e così di seguito.
Quindi segue, che proposto un numero qualunque, di cui si cerchi la radice quadrata, ossìa la radice del più gran quadrato perfetto in esso contenuto, se, a cominciar da destra, si spezza in classi di due cifre ciascuna,
1.° La cifra della radice del più gran quadrato, contenuto nella prima classe a sinistra sarà la prima cifra della radice, che si cerca;
2.° Le due cifre del più gran quadrato, contenuto nelle due prime classi a sinistra, saranno le due prime cifre della radice che si cerca;
3.° Le tre cifre della radice del più gran quadrato, contenuto nelle tre prime classi a sinistra, saranno le tre prime cifre della radice, che si cerca; e così di seguito.
Si dice, che coteste cifre saranno precisamente le successive cifre della radice, che si cerca; perchè, se esse si supponessero più grandi la prima, le due prime, le tre prime,....... classi di cifre del numero proposto non potrebbero più contenere il quadrato respettivo di una, di due, di tre,...... prime cifre della nuova radice; e se si supponessero più piccole, il quadrato della nuova radice, sottratto dal numero proposto, non esaurirebbe questo numero più da vicino, che fosse possibile; ossìa non sarebbe il più gran quadrato perfetto in esso contenuto.
Ora chiamandosi prodotto parziale di più cifre, relativamente al loro quadrato, il prodotto che si fa di tutte coteste cifre per la prima a destra, coll’avvertenza di raddoppiare il prodotto di lei per le altre, che sono alla sua sinistra (Tema primo pag. 59, 61.); ed osservando, che il quadrato di tutte può riguardarsi come la somma del loro prodotto parziale, e del quadrato di quelle, che sono alla sinistra della prima a destra, si conclude,
1.° Che, assegnata la cifra della radice del più gran quadrato contenuto nella prima classe a sinistra del numero proposto, e sottrattone questo quadrato, il resto che si otterrà, dopo avere scritte di seguito a lui le cifre della seconda classe (e che così si chiamerà resto completato) bisognerà, che contenga il più gran prodotto parziale, che si possa formare con due cifre, delle quali la prima sia la trovata.
2.° Che, assegnata la seconda di queste cifre, e sottratto il suddetto prodotto parziale d’ambedue dal precedente resto completato, il nuovo resto, che si ottiene, completato anch’esso collo scrivere di seguito a lui le cifre della terza classe, bisognerà, che contenga il più gran prodotto parziale, che si possa formare con tre cifre, delle quali le due prime siano le trovate.
3.° Che, assegnata la terza di queste cifre, e sottratto il prodotto parziale di tutte e tre dall’ultimo resto completato, bisognerà che il nuovo resto completato anch’esso nello stesso modo, contenga il più gran prodotto parziale, che si possa formare con quattro cifre, delle quali le tre prime siano le trovate; e così di seguito.
17. All’oggetto di determinare attualmente coteste cifre l’una dopo l’altra, ossìa di determinarne una qualunque, dopo aver determinate le precedenti a lei, riguardando come un numero di diecine quello, che si ottiene nel fare in un prodotto parziale il doppio del prodotto della prima cifra a destra per le altre, che sono alla sua sinistra, è facil concepire, che se da ciascun resto completato, il quale deve contenere il respettivo prodotto parziale, si esclude la prima cifra a destra, il numero che resta espresso dalle altre, essendo di diecine, conterrà sicuramente il doppio del prodotto delle cifre trovate della radice per la cifra consecutiva incognita da determinarsi. Dividendo dunque cotesto numero pel numero espresso dalle cifre già trovate della radice, la metà del quoziente che si trova, ossìa il quoziente di questo quoziente diviso per 2, diminuito o nò di una, di due,...... unità, e di una cifra sola, sarà la cifra, che si cerca, consecutiva a quelle già determinate.
Hò detto diminuito o nò di una, di due. . unità, giacché per quello, che precede bisogna che il prodotto parziale di tutte coteste cifre non superi il corrispondente resto completato, lo che riscontrando a parte si dice che si sperimenta la cifra ultima. Accingendomi io pertanto all’attuale estrazione della radice quadrata di un numero proposto, opero come segue.
«Spezzo il proposto numero, scritto colle sue cifre tutte equidistanti tra loro, con virgole in classi di due cifre ciascuna da destra verso sinistra, e copertolo con una linea orizzontale, a cominciar da sinistra,
«1.° Cerco la radice del più gran quadrato, contenuto nella prima classe di una o di due cifre; e, trovatala per mezzo della tavola di Pittagora, la scrivo sopra la linea tirata, corrispondentemente a cotesta prima classe;
« 2.° Sottratto da una tal classe il quadrato della cifra trovata, io completo il resto coll’abbassare presso di lui in colonna le due cifre della seconda classe, separandone la prima a destra con un punto; indi cerco il quoziente del numero, che resta, diviso per la cifra trovata, e presane la metà, sperimento la cifra, che trovo; dopo di che la scrivo sopra la linea tirata corrispondentemente alla seconda classe;
«3.° Sottratto il prodotto parziale delle due cifre trovate dal resto primo completato, io completo il nuovo resto coll’abbassare presso di lui in colonna le due cifre della terza classe, separandone la prima a destra con un punto; indi cerco il quoziente del numero, che resta, diviso per le due cifre trovate; e presane la metà, sperimento la cifra, che trovo, come terza cifra della radice; dopo di che la scrivo sopra la linea tirata corrispondentemente alla terza classe. Seguitando ad operare nella stessa guisa fino ad aver completato il penultimo resto coll’avere abbassate presso di lui in colonna le due cifre dell’ultima classe, la cifra, che avrò sperimentata, scritta sopra la linea orizzontale corrispondentemente a cotesta classe, sarà l’ultima della radice del numero proposto; ed il resto seguente sarà quello, che avanza al più gran quadrato in esso contenuto, ossìa sarà il residuo, che si vuole dopo la sottrazione d’un tal quadrato nel presente nostro Caso III.»
18. Passiamo adesso a degli esempj.