Matematiche Fascicolo secondo/Tema secondo - Capitolo I/Caso I
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CASO I.
Sottrazione propriamente detta.
3. Come nel Caso I. dell’Addizione (Tema primo, §. II. N.° 2.) ho supposto di sapere addizionare a memoria un numero d’una cifra sola ad un’altro numero d’una o più cifre, così quì, per l’abitudine acquistata nel denumerare ad una unità per volta, io suppongo d’avere imparato a sottrarre pure a memoria un numero d’una cifra sola da un altro numero d’una o più cifre, col sapere tutt’ad un tratto proferirne il resto, o la differenza.
Così, per esempio da 25 sottraendo 9, suppongo di sapere, che il resto sia 16; e dirò o scriverò Da 25, 9, 16; sebbene fosse meglio dire, o scrivere 25 meno 9 sono 16.
In questa supposizione abbiasi primieramente un diminutore solo.
Siccome un tal diminutore non può aver più cifre del diminuendo, perchè questo dev’essere sempre maggiore, è chiaro che riguardando l’uno e l’altro, a cominciar da destra, come decomposto nelle sue cifre del 1.° 2.° 3.° — ordine, a sinistra del diminuendo avremo sempre una o più cifre, che nell’insieme si potranno considerare com’esprimenti un numero di unità del medesimo ordine della prima a sinistra del diminutore; e che però
1.° La prima cifra a sinistra d’un tal diminutore potrà sempre sottrarsi, o dalla corrispondente del medesimo ordine del diminuendo, oppure dal numero di unità del medesimo ordine, espresso dall’insieme di lei colle altre sue cifre a sinistra.
2.° Scrivendo a destra del resto, che si ottiene, la cifra seguente del diminuendo, dal numero di unità, che resulta scritto d’un’ordine inferiore al precedente, si potrà sottrarre la seconda cifra del diminutore dell’ordine medesimo.
3.° Scrivendo a destra del secondo resto, che si ottiene, l’altra cifra seguente del diminuendo, dal numero di unità che resulta scritto d’un ordine inferiore al precedente, si potrà sottrarre la terza cifra del diminutore dell’ordine medesimo; e così di seguito sino all’ultima cifra a destra del diminuendo e del diminutore.
L’ultimo resto, che si troverà, sarà quello della sottrazione del diminutore dato dal diminuendo proposto.
Si debba sottrarre per esempio il numero 43 034 dal numero 61 011.
Comincio dallo scrivere il diminutore sopra al diminuendo, separato da una linea orizzontale, ma colle cifre adesso tutte tra loro equidistanti, ed in modo che quelle del medesimo ordine dell’uno e dell’altro si corrispondano sempre in colonna, come segue
| 43034 | |
| 61011 | |
| 21 | |
| 1801 | |
| 17981 | |
| 17977 | resto |
Indi eseguisco la operazione nel modo seguente
«Da 6, 4, 2 (Segno 2 e poi 1),
«Da 21, 3, 18 (Segno 18 e poi 0),
«Da 180, 0, 180, (Segno 180 e poi 1),
«Da 1801, 3, 1798, (Segno 1798 e poi 1).
«Da 17981, 4, 17977. (Segno 17977).
E quest’ultimo resto 17977 è il cercato.
Se per un’altro esempio debba sottrarsi il numero 780 978 dal numero 70 320 043, ecco il tipo del calcolo.
| 780978 | |
| 70320043 | |
| 6962 | |
| 695400 | |
| 6953914 | |
| 69539073 | |
| 69539065 | resto. |
4. Bisogna confessare per la verità, che questo metodo di sottrarre riesce alquanto imbarazzante, a motivo che noi siamo poco abituati a sottrarre a memoria numeri d’una cifra sola da numeri di molte cifre, per poterne proferir speditamente il resto o la differenza. All’oggetto d’evitare un tale ostacolo vediamo di trovare un qualche compenso, per cui non si abbiano da fare a memoria, che sottrazioni di numeri sempre d’una cifra sola, cioè minori di dieci, da numeri di due cifre al più, e questi minori di venti.
Per riuscir nell’intento riguardiamo al solito il diminuendo egualmente che il diminutore, come decomposto nelle sue cifre del 1.° 2.° 3.° ... ordine, e considerate queste com’esprimenti numeri separati di unità del loro respettivo ordine, si scrivano un pò discoste le une dalle altre, ma però sempre equidistanti tra loro ed in modo che quelle del diminuendo corrispondano sempre in colonna a quelle del diminutore. Quindi riflettendo che una delle unità d’una colonna ne val dieci di quelle della colonna immediatamente a destra, si vede, che, quando il bisogno lo richieda, togliendo da una cifra qualunque del diminuendo una unità, ossia la cifra 1, questa si potrà scrivere a sinistra della cifra che segue a destra, e dal numero minore di venti, che ne resulta togliendo parimente la cifra 1, questa si potrà scrivere a sinistra della cifra, che segue a destra; e così di seguito, senza che il diminuendo, decomposto come si è detto, resti alterato.
Con questo compenso potendosi sottrarre ciascuna cifra del dìminutore dal corrispondente numero inferiore del diminuendo si avranno tutte le cifre del resto, che si cerca.
Ecco il tipo del calcolo pel primo de’ due precedenti esempj.
| 43034 | |
| 5 10 9 10 11 | |
| 17977 | resto. |
5. Ma senza stare a far nel diminuendo decomposizione alcuna, quando la operazione invece da sinistra s’incominci da destra, è facil rilevare, che si otterrà ciascuna cifra del resto col sottrarre ciascuna cifra superiore dalla inferiore aumentata di dieci, se bisogna, purchè in questo caso si riguardi come diminuita d’una unità la cifra inferiore a sinistra.
Ecco il tipo del calcolo per lo stesso esempio
| 43034 | |
| 61011 | |
| 17977 | resto |
«Da 11, 4, 7. Da 10, 3, 7. Da 9, 0, 9.
Da 10, 3, 7. Da 5, 4, 1.»
Non volendo diminuire d’una unità la cifra inferiore a sinistra, si capisce bene che potremo aumentar d’una unità piuttosto la corrispondente superiore. Così si dirà
«Da 11, 4, 7. Da 11, 4, 7, Da 10, 1, 9.
Da 11, 4, 7. Da 6, 5, 1».
Del resto noi c’eravamo determinati fin da principio a voler cominciar la sottrazione da sinistra, piuttosto chè da destra, sul riflesso, ch’essendo essa una operazione inversa all’Addizione, bisognava cominciar la seconda operazione da dove la prima avea finito.
Che anzi per conformarsi sempre ali’ uso, il quale qualche volta comanda perfino alla Ragione, nel caso d’un diminutore solo d’ora in avanti noi lo scriveremo non più sopra, ma sotto al diminuendo immediatamente, separando poi con una linea orizzontale il resto, come segue
| 61011 | |
| 43034 | |
| 17977 | resto |
Ecco i tipi del calcolo di alcuni esempj, ove a sinistra di quei diminutori, che hanno meno cifre de’ corrispondenti diminuendi, si sottintendono scritte tante cifre o quante bastano.
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6. Passiamo adesso a considerare il caso, in cui si abbiano più diminutori, e questi per ora generalmente disuguali tra loro.
In questo caso addizionandoli tutti, e poi sottraendo la somma dal diminuendo, è chiaro che il resto, che si troverà, sarà il cercato. Così si suole ordinariamente praticare; ma per prepararsi fin da questo momento al Caso II. della Sottrazione di sopra (2) enunciato, noi opereremo nel modo seguente.
«Dopo avere scritti i diminutori al solito sopra al diminuendo, separato da una linea orizzontale, in modo che le cifre tutte del medesimo ordine, equidistanti sempre tra loro, si corrispondano in colonna.
«1.° Addizioneremo, a cominciar sempre da sinistra, le cifre della prima colonna de’ diminutori, e scrivendo le cifre della somma respettivamente sotto le corrispondenti del medesimo ordine del diminuendo, da queste sottrarremo quelle nel modo, che precedentemente si è detto.»
«2.° Accanto alle cifre del resto, che si ottiene, abbassando verticalmente a destra la cifra superiore del diminuendo, scriveremo poi respettivamente sotto a queste le cifre corrispondenti della somma della seconda colonna de’ diminutori, per farne la sottrazione nel modo stesso.»
«3.° Accanto alle cifre del nuovo resto, che si ottiene abbassando verticalmente a destra l’altra cifra del diminuendo, scriveremo poi respettivamente sotto a queste le cifre corrispondenti della somma della terza colonna de’ diminutori per farne la sottrazione sempre nello stesso modo; e così di seguito.»
L’ultimo resto che si troverà sarà il cercato.
Per un’esempio si abbiano per diminutori i quattro numeri 7 345, 8 010, 7 775, 2 011; e per diminuendo il numero 100 000.
Ecco il tipo del calcolo.
| 7345 | ||
| 8010 | ||
| 7775 | ||
| 2011 | ||
| 1 | 00000 | |
| 24 | ||
| 760 | ||
| 10 | ||
| 7500 | ||
| 13 | ||
| 74870 | ||
| 11 | ||
| 74859 | resto | |
7. Nel caso particolare, in cui i diminutori siano tutti tra loro uguali, la operazione precedente si semplicizza disponendola, ed eseguendola, come segue.
«Dato il numero de’ diminutori, che chiameremo numero dato, questo si scriva a sinistra del diminuendo, separato con una lineetta verticale; e sopra al diminuendo stesso si scriva uno di quei diminutori, separato anch’esso con una linea orizzontale, in modo che le cifre dell’uno e dell’altro del medesimo ordine si corrispondano sempre in colonna.»
«Quindi, a cominciar da sinistra, si moltiplichi, come si sà, ciascuna cifra del diminutore scritto pel numero dato, e portando ciascun prodotto parziale sotto il corrispondente parzial diminuendo se ne faccia di mano in mano la dovuta sottrazione»
L’ultimo resto, che si troverà, sarà il cercato.
Sia per un’esempio 7 054 034 il diminuendo proposto, 234 578 uno de’ diminutori uguali, e 7 il loro numero dato.
Ecco il tipo del calcolo
| 234578 | |||
| 7 | 7054034 | ||
|
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| 565 | |||
|
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| 5444 | |||
|
|||
| 54160 | |||
|
|||
| 541253 | |||
| 49 | |||
| 5412044 | |||
| 56 | |||
| 5411988 | resto. |
Sia per un’altro esempio 1 976 652 577 il diminuendo proposto, 2 700 345 uno de’ diminutori, e 732 il numero dato.
Ecco il tipo del calcolo.
| 2700345 | |||
| 732 | 1976652577 | ||
|
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| 5126 | |||
|
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| 2525 | |||
|
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| 3297 | |||
|
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| 3697 | |||
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| 37 | resto. |
8. Sapendosi sottrarre a memoria un numero di due cifre al più da un’altro pure di due cifre, tra i quali la differenza sia d’una cifra sola, la operazione precedente si può compendiar così.
«Nell’atto che si moltiplica una delle cifre del diminutore per la prima, seconda, terza... cifra a cominciar da destra del numero dato, e così si hanno de’ prodotti parziali di una o due cifre al più,
«1.° Si sottragga a memoria il primo di questi prodotti dalla prima cifra a destra del parzial diminuendo corrispondente, dopo avere arbitrariamente aggiunte, se bisogna, al di lei numero di unità tante diecine, quante bastano e non più per potere effettuare la sottrazione; e sotto a lei si scriva la cifra del resto.»
«2.° Si sottragga a memoria il secondo parzial prodotto, aumentato però di tante unità, quante sono state le diecine aggiunte precedentemente, dalla seconda cifra del medesimo parzial diminuendo, dopo aver pure arbitrariamente aggiunte, se bisogna, anche al di lei numero di unità tante diecine, quante bastano e non più per potere effettuare questa seconda sottrazione; e sotto a lei pure si scriva la cifra del resto; e così di seguito.»
Le cifre, che avremo scritte, saranno quelle del resto parziale corrispondente, di seguito alle quali si abbasserà verticalmente l’altra cifra del diminuendo totale per avere un diminuendo parziale ulteriore.
Il nostro processo si giustifica subito sul riflesso, che le diecine, le quali si aggiungono di mano in mano a ciascuna cifra di un diminuendo parziale per potere attualmente effettuare la sottrazione di ciascun parzial prodotto fatto, vengono poi tolte via nella successiva sottrazione delle altrettante unità aggiunte al prodotto parziale consecutivo, il quale relativamente al precedente è un prodotto di diecine.
Ecco il tipo del calcolo de’ due esempj precedenti
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