Matematica allegra/11c
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Ma guarda che... combinazione!
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Ma guarda che... combinazione!
Ricordo un curioso episodio della vita militare. Un buon caporale piemontese stava facendo fare alcuni esercizi ai suoi dieci uomini, quando arrivò il signor capitano. Attenti! dieci presenti! riposo! Poi il signor capitano volle vedere i dieci giovanotti a marciare, e si complimentò col bravo caporale. Questi gongolava. Ma ad un tratto il signor capitano gli fece una domanda che lì per lì parve al gongolante caporale molto semplice... ma poi gli apparve un monumento di malignità.
- Dimmi un po’, caporale, in quanti modi puoi mettere di fronte i tuoi dieci soldati? - chiese il signor capitano.
- In due modi - rispose il caporale dopo averci un po’ pensato. - Con la faccia voltata di qua... o con la faccia voltata di là.
- Ma no! ho detto di fronte, ossia con la faccia voltata verso te, verso me.
- Ma... in un modo...
- Comprendimi bene: devi pensare in quanti modi puoi far cambiare di posto ai tuoi uomini, pur restando sempre sullo stesso allineamento. Il primo può passare secondo, terzo, quarto... il secondo pure... e così via. Hai capito?
- Ho capito. Devo mischiare i miei uomini come se fossero un mazzo di carte.
- Non proprio così, ma quasi *
Naturalmente il buon caporale non riuscì a risolvere il problema, e il signor capitano concluse.
- Cosa fai nella vita? che mestiere?
- Faccio il fornaio con mio papà che ha una panetteria di lusso.
- Allora quando vai a casa, fai la domanda al ragioniere che tiene l’amministrazione della tua panetteria.
- Signorsì.
- Per ora la risposta te la dò io. I tuoi dieci soldati li puoi mettere di fronte in 3.628.800 modi diversi.
Solo il rispetto dovuto al signor capitano, trattenne il buon caporale dal rispondergli: - Signor capitano, ma lei è tutto matto! - Ma dopo l’attenti e il riposo e il rompete le righe conseguente all’allontanamento del signor capitano, caporale e soldati tennero allegro circolo, sostenendo che il superiore aveva voluto scherzare, e aveva voluto prenderli in giro.
Invece egli non aveva affatto scherzato. I modi diversi con i quali si possono permutare, ossia cambiar di posto fra loro dieci persone, dieci cose, sono precisamente nel numero indicato dal signor capitano, che corrisponde al prodotto dei primi dieci numeri, che si chiama il fattoriale di dieci (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x 9 x 10) e che si indica così: 10!
Voi sapete ora, dinanzi ai vostri soldatini più o meno di ferro, dinanzi ai vostri pellirosse, dinanzi ai vostri gauchos e ai loro bei cavalli, dire quante permutazioni potete fare con essi. Due soldatini, due permutazioni: primo secondo, secondo primo. (1 x 2 = 2!); tre soldatini: 1° 2° 3°; 1° 3° 2°; 2° 1° 3°; 2° 3° 1°; 3° 1° 2°; 3° 2° 1°, in tutto sei permutazioni (1 x 2 x 3 = 6 = 3!) e via via.
E ora, dopo l’episodio militare, un piccolo episodio scolastico. Il professore di ginnastica di una prima media, doveva far partecipare la sua classe a una festa in onore di non so più quale autorità che avrebbe onorato la scuola di una sua visita. Egli aveva venti ragazzi, e doveva fare una azione figurativa che consisteva nel formarsi e riformarsi continuamente di gruppi di quattro ragazzi. Una bella paratina che se fosse riuscita, avrebbe attirato sul professore e sulla classe l’attenzione e gli elogi dell’autorità in visita... con qualche premiuccio non trascurabile.
Ma la preoccupazione del professore di ginnastica era questa: queste disposizioni di ragazzi in modo sempre diverso, sia dei singoli che del loro ordine, saranno sufficienti per succedersi senza ripetersi durante tutto l’esercizio? Il poveretto temeva, in altre parole, che l’esibizione dei suoi ragazzi diventasse monotona.
Si rivolse, per caso, al suo collega, il professore di matematica che gli tolse tutti i dubbi.
- Non si preoccupi - gli disse: lei potrebbe continuare nel suo esercizio, disponendo cioè i ragazzi in gruppi di 4 sempre diversi non solo per i ragazzi diversi, ma anche per il loro ordine nel gruppo sempre diverso, per altre centomila posizioni diverse, e precisamente 116.280.
Alla sorpresa del professore di ginnastica... un po’ simile a quella del buon caporale di cui vi ho detto, il matematico rispose con un po’ di spiegazione.
- Se lei dovesse fare con i suoi venti ragazzi dei gruppi di un ragazzo, ne farebbe venti, perché ogni gruppo essendo composto di uno solo, può essere disposto in un sol modo. Se dovesse invece disporli in gruppi di due, basterebbe che accoppiasse ognuno dei venti ragazzi con ognuno degli altri 19 (ossia per gli altri venti meno lui) e avrebbe perciò 20 x 19 modi di disporli. Se dovesse poi disporli in gruppi di tre, basterebbe che unisse le 20 x 19 coppie così trovate con ognuno degli altri 18 ragazzi (ossia gli altri 20 meno la coppia) e avrebbe perciò 20 x 19 x 18 modi di disporli a tre a tre. Se infine lei dovrà disporli come è nel suo proposito, a 4 a 4, basterà che ad ognuna delle terne così trovate aggiunga ognuno dei 17 ragazzi rimanenti (ossia gli altri 20 meno la terna) e avrebbe perciò 20 x 19 x 18 x 17 disposizioni possibili, e cioè quelle 116.280 che le ho detto poco fa.
Continuando a scrivere sul foglietto che aveva davanti continuò.
Generalizzando, potremo dire che per trovare le disposizioni che si possono fare di un numero n di oggetti a gruppi di x oggetti in modo che ogni gruppo sia differente dall’altro non solo per gli oggetti di cui è composto ma anche per il loro ordine nel gruppo stesso, basterà fare un piccolo calcolo. Moltiplicare cioè n per n - 1 per n - 2 ecc... fino a n - (x - 1) : questo prodotto dà il numero richiesto. Nel suo caso n è 20, x è 4; bastava perciò, come ho detto, moltiplicare 20 per 20 - 1 per 20 - 2 per 20 - (4 - 1).
Non saprei dirvi se il professore di ginnastica restasse soddisfatto delle spiegazioni avute. Comunque, per conto mio, vi completerò la lezioncina, esaminando il caso in cui i 20 allievi dovessero essere disposti in gruppi di 20. In tal caso i gruppi, non potendo differire per i ragazzi che sarebbero sempre quei 20, differirebbero soltanto per il loro ordine. Si tratterebbe più precisamente di trovare il numero di permutazioni possibili con 20 elementi. (E cioè, tanto per ripeterlo, tutti i modi di disporli perché ogni gruppo differisca dall’altro solo per l’ordine dei suoi elementi). Come abbiamo detto poco prima, tale numero sarà dato dal prodotto di 20 per 19 per 18 ecc... fino a 20 - (x -l); e poiché x = 20, i termini decrescenti dal 20, dovranno giungere fino al 20 - (20 - 1), ossia fino al 20 -19 = 1.
Tale numero sarà: 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14, x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20!
Ma questo è appunto il numero delle permutazioni di 20 elementi, come vi ho già spiegato.
C’è infine un ultimo. modo di disporre un certo numero di oggetti in gruppi in modo che ogni gruppo differisca dall’altro per gli oggetti che contiene e non per il loro ordine, del quale non si tiene conto. Questa combinazione, guardate combinazione, si chiama appunto combinazione. E il quesito che pone è il seguente: quanti gruppi si possono formare con n elementi, prendendoli a x a x, e in modo tale che ogni gruppo si differenzi dagli altri per gli elementi che contiene e non per il loro ordine?
Per risolvere questo quesito basterà, che vi riferiate a quanto detto nelle prime tre parti della soluzione del problema analogo riguardante il lotto.
E allora potremo concludere che il numero delle combinazioni di n elementi a x a x è dato dal rapporto del numero delle disposizioni di n elementi a x a x diviso per il numero delle permutazioni di x elementi. E cioè, chiamando Cn,x il numero delle dette combinazioni, Dn,x il numero delle dette disposizioni, e con Px il numero delle dette permutazioni, Cn,x = Dn,x : Px, e cioè, sostituendo a D e a P le formulette con le quali, come abbiamo visto, si ricavano:
Cn,x = n (n - 1) (n - 2)... [n - (x -1)] : x!
Come si vede, i due termini di questa divisione hanno lo stesso numero di fattori, ossia x, il dividendo a cominciare da n, e il divisore a cominciare da 1. E da ciò potrete ricavare la regola pratica: «il numero delle combinazioni di n elementi a gruppi di x, è dato dal quoziente di una divisione, in cui dividendo e divisore hanno lo stesso numero di fattori x, il primo partendo da n e con numeri successivi in senso decrescente, il secondo partendo da 1 e con numeri successivi in senso crescente».
Esempio pratico: le combinazioni di 10 elementi a gruppi di 5, saranno date dal rapporto di (10 x 9 x 8 x 7 x 6) per (1 x 2 x 3 x 4 x 5): saranno cioè 252.