Matematica allegra/11
 |
Questo testo è completo. | |
| ◄ | 10c | 11a | ► |
Il calcolo delle probabilità è stato oggetto di molti studi da parte di matematici che in esso si sono specializzati, e si può dire che oramai costituisca una parte a sé delle matematiche. Il primo che ad esso diede forma scientifica fu un astronomo e matematico francese Pierre Simon, marchese di Laplace che visse dal 1749 al 1827 e che le probabilità e le possibilità dimostrò di saper ben calcolare, perché riuscì a farsi nominare Conte dall’...usurpatore Napoleone I, e, dopo la sua caduta riuscì a farsi nominare marchese da Luigi XVIII, salito sul trono dei suoi padri.
Oggi il calcolo delle probabilità è rivolto specialmente a stabilire basi matematiche ad avvenimenti della vita, quali la morte o la sopravvivenza: quante probabilità ci sono che un uomo di 40 anni viva fino all’età, che so io, di 70? quante probabilità ha egli di sopravvivere a quell’età? questi problemini, che risolvono o determinano casi d’assicurazione, formano argomento della matematica assicurativa o attuariale che studierete, se volete diventare ragionieri, in quarto anno d’Istituto.
Io non voglio dirvi cose complicate: solo voglio darvi un’idea di questi calcoli onde possiate risolvere i problemini che si affacciano a chi vive oggigiorno: che probabilità ho di vincere un terno al lotto? che probabilità ho di vincere ai dadi? di fare 13 al Totocalcio? e tanti, tanti altri.
Intanto cominciamo col dire: è possibile che un dato fatto avvenga. È possibile che domani arrivi lo zio, è possibile che domenica faccia bel tempo, è possibile che io sia promosso. È anche logico che è ugualmente possibile che lo zio arrivi e che lo zio non arrivi. Se voi appartenete ad una di quelle belle famiglie patriarcali che, seguendo i sani usi antichi, alla sera mangiano alle 7, poi dalle 8 alle 9 giocano alla tombola, vedete che il nonno estrae dal sacchetto, dove stanno 90 pedine numerate dall’1 al 90, una pedina alla volta: e vi chiedete ansiosi, ad ogni estrazione: chissà se verrà il 22 o un altro numero? È chiaro che la stessa possibilità che ha il 22 l’ha il 23 e anche il 40 e anche il 60. Si dice perciò che c’è tanta probabilità che esca il 22 quanta ce n’è che esca un altro numero.
Come sapete, nei 90 numeri ve ne sono 45 pari e 45 dispari: c’è perciò la possibilità che subito sia estratto un numero pari o uno dispari. Ma se il nonno estrae, per esempio, il 22 numero pari, restano nel sacchetto 44 numeri pari e 45 numeri dispari: aumenta perciò la possibilità che nella successiva estrazione sia estratto un numero dispari. In parole semplici, c’è più probabilità che esca un numero dispari che un numero pari. Ma tenete presente che le condizioni sono variate: nella prima estrazione c’erano 90 casi tutti possibili per l’estrazione di un pari o di un dispari, 45 dei quali erano favorevoli all’uscita dei pari e 45 all’uscita dei dispari; nella seconda estrazione i casi possibili sono ridotti a 89 (una pedina di meno) dei quali 44 favorevoli all’uscita dei pari e 45 all’uscita dei dispari. Nel linguaggio comune si dice che ci sono 44 probabilità su 89 che escano i pari: e il linguaggio comune esprime chiaramente la definizione matematica di probabilità, che altro non è che il rapporto fra i casi favorevoli al verificarsi di un certo fatto e i casi possibili. Quale sarà, per esempio, la probabilità che lo zio arrivi domani? i casi son due - che arrivi, che non arrivi; - il caso favorevole all’arrivo è uno; la probabilità perciò è data dal rapporto di 1 a 2, ½. La probabilità che il nonno nella prima estrazione estragga, per esempio, il 22, è data dal rapporto di 1 (caso favorevole) a 90 (casi possibili). La probabilità che nella seconda estrazione (dopo cioè aver estratto il 22) il nonno estragga un numero pari è data dal rapporto fra i 44 casi favorevoli e gli 89 possibili, ecc.
Se voi vi chiedete: «quale probabilità ha il nonno, nella prima estrazione, di estrarre un numero compreso fra 1 e 90?» appare subito che i casi favorevoli sono 90 e 90 i casi possibili: la probabilità è 90 : 90 = 1. L’evento è sicuro, è certo: c’è perciò la «certezza matematica» di estrarre un numero compreso fra 1 e 90. Invece, se vi chiedeste «quale probabilità ha il nonno, nella prima estrazione, di estrarre un numero superiore a 90?» evidentemente nessun caso favorevole apparirebbe, e la probabilità sarebbe il rapporto da 0 a 90, ossia zero. Non c’è perciò alcuna probabilità che il fatto avvenga, o, con maggior semplicità, il fatto è «impossibile».
Provate a chiedervi: «quale probabilità ho di estrarre da un mazzo di 40 carte una certa carta?». Casi favorevoli: 1; casi possibili 40. Risposta: la probabilità è 1/40.
«Quale probabilità ho di estrarre da un mazzo di 40 carte un 7? oppure una carta di picche?». Per il 7: casi favorevoli 4; casi possibili 40. Risposta: la probabilità è 4/40 = 1/10. Per la carta di picche: casi favorevoli 10; casi possibili 40. Risposta: la probabilità è 10/40 = ¼. «Gettando un dado, quale probabilità ho di fare, per esempio, 5?». Casi favorevoli: 1; casi possibili 6. Risposta: la probabilità è 1/6.
«Gettando due dadi, quale probabilità ho di fare con entrambi i dadi lo stesso punto?». È chiaro che c’è un unico caso favorevole per ogni coppia, perché ogni coppia richiesta è unica; ma le coppie che si possono formare sono 6: 1 e 1, 2 e 2, 3 e 3, 4 e 4, 5 e 5, 6 e 6. Perciò i casi favorevoli sono 6. Quanti saranno i casi possibili? essi sono dati, come ben si comprende dall’accompagnamento di ogni faccia del primo dado con ogni faccia dell’altro: ogni faccia del primo può fare in tal modo 6 accoppiamenti, e siccome le facce del primo son 6, tutti gli accoppiamenti son 6 x 6 = 36. Risposta: la probabilità di fare con entrambi i dadi lo stesso punto è 6/36 = 1/6.
Se invece si fosse chiesto la probabilità con entrambi i dadi di fare una determinata coppia di punti eguali, per esempio 5 e 5: casi favorevoli 1, casi possibili 36. Probabilità: 1/36.
E se infine si volesse la probabilità di veder uscire una coppia di punti diversi - per esempio 2 e 4 - mentre i casi possibili resterebbero sempre 36, i casi favorevoli sarebbero 2: fare 2 col primo dado e 4 col secondo, fare 4 col primo e 2 col secondo. Probabilità 2/36 = 1/18.