Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 49

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Derivata

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 49. — Derivata.

α) Sia $f(x)$ una funzione reale.

Nei due precedenti §§ si è presentato il rapporto

${\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Il denominatore e il numeratore sono il primo e la differenza di due valori della variabile indipendente $x$, l'altro la differenza dei due valori corrispondenti della funzione $f(x)$. Perciò di suol anche porre (ricordando la lettera iniziale della parola: differenza)

$h=(x+h)-x=\Delta x$,

$f(x+h)-f(x)=\Delta f$.

Il primo sarà detto incremento della $x$, l'altro incremento della $f(x)$. Il rapporto

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

viene perciò chiamato anche chiamato rapporto incrementale. In entrambi i problemi precedentemente trattati, si è trovato necessario calcolare il

$\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}$.

Questo limite, se esiste ed è finito, ha ricevuto il nome di derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x$; esso è una funzione di $x$, che si suole indicare con $f'(x)$.

Se è posto $y=f(x)$, questo limite, se esiste, si indica brevemente anche con $y'$ senz'altro, o con $y'_{x}$, se si vuol mettere in evidenza la variabile $x$ rispetto al quale si deriva¹.

Se il punto $x$ che si esamina è all'estremo sinistro (destro dell'intervallo, in cui $f(x)$ è definita, è sotteso che $h$ tende a zero per valori positivi (negativi); se invece il punto $x$ è interno a tale intervallo, si dice che la funzione $f(x)$ ha in tal punto la derivata $f'(x)$ soltanto se il $\lim _{\Delta x=0}|frac{|deltaf}{\Delta x}$ esiste, e è sempre lo stesso, sia che $h$ tenda a zero per valori positivi, sia che $h$ tenda a zero per valori negativi.

Di più, quando diremo che esiste la derivata $f'(x)$, noi supporremo sempre che il nostro limite abbia valore finito (sebbene si parli talvolta anche di derivate infinite). I risultati dei precedenti paragrafi si possono perciò anche enunciare così:

1° Se $y=f(x)$ è lo spazio percorso da un punto $M$ mobile su una retta in $x$ unità di tempo, allora la derivata $y'=f'(x)$ di $f(x)$ ci sà la velocità del punto $M$ all'istante $x$ (dopo che sono trascorse $x$ unità di tempo).

2° La retta tangente alla curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare $y'=f'(x)$.

Così, p. es., la derivata di $y=ax^{2}(a={\text{cost.}})$ è

$\lim _{h=0}{\frac {a(x+h)^{2}-ax^{2}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {2axh+ah^{2}}{h}}=$

$=\lim _{h=0}(2ax+ah)=2ax$.

Quindi: Se un punto in $x$ minuti secondi percorre $ax^{2}$ metri, la sua velocità (misurata in metri secondi) dopo $x$ secondi è $2ax$. (Da ciò si deduce il risultato del penultimo paragrafo ponendo $a={\frac {1}{2}}g=4,905$).

La retta tangente della parabola $y=ax^{2}$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare $2ax$.

β) Un teorema di importanza specialmente teorica è il seguente:

Se una funzione f(x) ha un punto x₀ derivata (finita), essa è continua in tale punto.

Infatti dalla

$\lim _{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})$

si trae

$\lim _{h=0}[f(x_{0}+h)-f(x_{0})]=\lim _{h=0}h{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=$

$=\lim _{h=0}h\lim :{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=0\cdot f'(x_{0})=0$

Ossia

                                        $\lim _{h=0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})$.                              c.d.d.

Il teorema reciproco non è vero; esistono funzioni continue senza derivata, per quanto tutte le funzioni, che può incontrare il tecnico nei suoi studi, sieno derivabili nei punti non singolari².

γ) Chiuderemo questo paragrafo con alcune osservazioni sulla equazione della retta tangente ad una curva. Si tratta di osservazioni evidenti, sebbene talvolta io mi sia accorto della difficoltà incontrata da molti studenti a scrivere tale equazione in modo corretto.

Il punto di ascissa $x_{0}$ sulla curva $y=f(x)$ ha per ordinata $y_{0}f(x_{0})$. [Con $f(x_{0})$ si indica, come è noto, il valore $f(x)$ quando alla variabile $x$ si da il valore $x_{0}$]. Il coefficiente angolare della tangente corrispondente è $f'(x_{0})$³. Ora, affinchè la retta passante per il punto (x_0, y_0)</math> e un altro punto $<8x,y$ abbia il coefficiente angolare $f'(x_{)}$ è condizione necessaria e sufficiente che $y-y_{=}(x-x_{)}f'(x_{0})$. Questa è dunque l'equazione della retta tangente alla curva $y=f(x)$ in quello dei suoi punti, che ha per ascissa $x_{0}$. Si noti:

1° La $y$ che figura in questa equazione è l'ordinata di un punto mobile sulla tangente ed è perciò completamente distinta dalla $y=f(x)$, ordinata di un punto mobile sulla data curva.

2° Siccome il punto $<8x_{0},y_{0})$ appartiene per ipotesi alla nostra curva, la $y_{0}$ è precisamente il valore assunto dalla $f(x)$, quando alla variabile $x$ si dà il valore $x_{0}$. Così pure $f'(x)$ è il valore di $f'(x)$ nel punto $x=x_{0}$.

Così, p. es., l'equazione della tangente alla curva $y=ax^{2}$ nel punto di ascissa zmath>x_0</math> è $(y-y_{0})=2ax_{0}(x-x_{0})$, ossia (poichè $y_{0}=ax_{0}^{2}$) è $y+y_{0}=2ax_{0}x$. δ) Sia data una curva $y=f(x)$ definita in un intorno destro o sinistro di $\infty$; poniamo, p. es., nell'intorno $(a,+\infty )$ di $\infty$. La retta tangente nel punto di ascissa $x_{0}$ ha per equazione

$y-y_{0}=(x-x_{0})f'(x)$ ossia $y=xf'(x_{0})+[f(x_{0})-x_{0}f'(x-_{0})]$.

Se per $x_{0}=\infty$ le $f'(x_{0}){\text{e}}f(x_{0})-x_{0}f'(x)$ hanno limiti finiti $m,n$ la retta che ha per equazione $y=mx+n$ si dirà asintoto della curva, nel punto di ascissa infinita (e si considererà come la posizione limite della tangente considerata per $x_{0}=\infty$).

Così pure, se $f(x)$ è definita per $x\not =a$, e se, quando $x_{0}$ è in un intorno di a, si ha $f'(x)\not =0$, allora l'equazione della tangente nel punto di ascissa $x$, si può scrivere:

${\frac {y}{f'(x_{0})}}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=x-x_{0}$.

Se è $\lim _{x_{0}=a}f(x)=\infty$, $\lim _{x_{0}=a}f'(x_{0})=\infty$, $\lim _{x_{0}=a}{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=0$⁴, allora la retta che ha l'equazione $x-a=0$ [che si deduce dalla precedente passando al limite per $x_{0}=a$] si chiama ancora asintoto della nostra curva nel punto di ascissa a.

Cos', p. es., la curva $xy=1$ ha per tangente nel punto di ascissa $x_{0}$ la retta

$y-{\frac {1}{x_{0}}}=-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}(x-x_{0})$.

Passando al limite per $x_{0}=0$ e per $x_{0}=\infty$ si trova che asintoti di tali curve sono le rette $x=0,y=0$, ossia gli assi coordinati.

Esempi.

1° Sia $y=f(x)$ una funzione continua e non negativa per $a\leq x\leq b$. Consideriamo la figura piana (fig. 17) racchiusa tra l'asse delle $x$, la curva $y=f(x)$, e le perpendicolari all'asse delle ascisse innalzate dal punto $A$ di ascissa $a$ e dal punto $B$ di ascissa variabile $x>a$.

Ad una tale figura daremo il nome di rettangoloide. Dimostreremo altrove che questa figura possiede un'area (che cioè le sue aree esterna ed interna sono uguali).

Fig. 17.

Ed anche senza ammettere tale teorema, il lettore noti che le seguenti considerazioni (da noi svolte per l'area di tale rettangoloide) valgono del resto tanto per l'area esterna che per l'area interna (cfr. § 7, pag. 25).

Tale area sarà una funzione $A(x)$ dell'ascissa variabile $x$. Noi non sappiamo per ora calcolare tale area, qualunque sia la funzione $f(x)$ ma, come ora vedremo, sappiamo in ogni caso calcolarne la derivata $A'(x)$.

Per calcolare tale derivata, diamo alla $x$ un incremento positivo $h$ (ad identito risultato si giunge con ragionamenti analoghi se $h<0$.

L'incremento $\Delta A=A(x+h)-A(x)$ ricevuto dalla nostra area sarà l'area del rettangolo limitato dall'asse delle $x$, dalla nostra curva, e dalle ordinata dei punti $b$ e $C$ di ascissa $x$ ed $x+h$. Se in questo intervallo la $f(x)$ conservasse un valore costante, la curva $y=f(x)$, sarebbe in questo intervallo un segmento parallelo all'asse della $x$; la nostra figura sarebbe un rettangolo di base $h$ e di altezza $y=f(x)$, cosicchè la sua area $\Delta A$ sarebbe uguale ad $hf(x)$. Ma $f(x)$ può variare nel nostro intervallo da un minimo $m$ ad un massimo $M$; cosicchè la nostra figura contiene all'interno il rettangolo di base $h$ ed altezza $m$, ed è contenuta nel rettangolo di base $h$ ed altezza $M$. La sua area $\Delta A$ è perciò compresa tra i numeri $hm$ ed $hM$, ossia sarà uguale ad $h\mu$, essendo $\mu$ il valore assunto dalla $f(x)$ in un punto $x+\lambda$ dell'intervallo (math>x, x+h)</math>. Dalla

$\Delta A=hf(x+\lambda )$

abbiamo

${\frac {\Delta A}{h}}=f(x+\lambda )$

cosicchè

$A'(x)=\lim _{h=0}{\frac {\Delta A}{h}}=\lim _{h=0}f(x+\lambda )=\lim _{\lambda =0}(f+\lambda )=f(x)$.

Fig. 18

α) Sia, p. es., la curva $y=f(x)$ (fig. 18) la retta uscente dal punto di ascissa $a$ ed ordinata $b$ col coefficiente angolare $m$; sia cioè $f(x)=b+m(x-a)$ dove $m={\text{tg}}\omega$, essendo $\omega$ il solito angolo della retta con l'asse delle $x$. L'area della nostra figura (un trapezio) è

${\frac {b+f8x)}{2}}(x-a)=b(x-a)+{\frac {m}{2}}(x-a)^{2}$.

Ne deduciamo che la derivata di

$b(x-a)+{\frac {m}{2}}(x-a)^{2}$

è $b+m(x-a)$: ciò che si pò dimostrare direttamente col metodo di pag. 162.

β) Sia ora la curva $y=f(x)$ un arco di cerchio col centro nell'origine e raggio $R$. Dalla equazione $x^{2}+y^{2}=R^{c}$ di questo cerchio si trae $y=f(x)=+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ (fig. 19). Fig. 19. L'area racchiusa tra l'asse delle $x$, il cerchio, l'ordinata (di lunghezza nulla) di ascissa $-R$ e l'ordinata di ascissa variabile $x$ è data da $(\pi -\alpha )R{\frac {R}{2}}+{\frac {xy}{2}}$, dove $\alpha$ (cfr. fig. 19) è l'arco minore di $\pi$ che ha per coseno ${\frac {x}{R}}$, o, come si suol dire, $\alpha =\arccos {\frac {x}{R}}$ ed $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$.

Quindi la derivata di $\left(\pi -\arccos {\frac {x}{R}}\right){\frac {R^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}(0\leq {\text{arc cos}}x\leq \pi )$ è uguale a $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$.

γ) Infine, se $f(x)={\frac {1}{x}}$ e quindi la curva $y={\frac {!}{x}}$ è un'iperbole equilatera con gli assi coordinati per asintoti, noi sappiamo (§ 38, es. 3°, pag. 128) che $A(x)=\log _{e}{\frac {x}{a}}$. Quindi la derivata di $\log _{e}{\frac {x}{a}}$ e in aprticolare di $\log _{e}x$ vale ${\frac {1}{x}}$. 2° Sia dato un solido $S$. Esista e sia $y=f(x)$ il volume di quella porzione di $S$ che è racchiuisa tra un certo piano fisso $\pi$, e un piano parallelo $\pi '$ posto alla distanza $x$ dal precedente. L'area della sezione $s$ fatta da $\pi '$ in $S$ esista, e sia una funzione $F(x)$ continua della $x$. Dimostreremo che $f'(x)=F(x)$.

Oss. Ammettiamo il teorema che il volume dello strato $S$, che è compreso tra due piani $\pi _{1}$ e $\pi _{2}$ qualsiasi paralleli a $\pi$ sia compreso tra i prodotti della distanza di questi due piani per i valori massimo e minimo dell'area d'una sezione fatta in $S$ da un piano parallelo a $\pi _{1}$ od a $\pi _{2}$. Questo teorema, che troveremo più tardi dimostrato in generale, è evidente se, p. es., $S$ è una sfera, o un ellissoide avente $\pi$ per piano di due assi, o una piramide avente la base parallela a $\pi$ tale che il piede dell'altezza sia interno alla base, ecc. A tutti questi solidi il nostro ragionamento è quindi applicabile senza necessità di ammettere alcun teorema non dimostrato.

Ris. Se $\pi ',\pi ''$ sono due piani paralleli a $\pi$, il volume $f(x+h)-f(x)$ dello strato limitato in $S$ da $\pi '$ e da $\pi ''$ è, per l'osservazione precedente, compreso tra $hM$ ed $hm$, se con $M$ e con $m$ indichiamo rispettivamente il massimo ed il minimo valore di $F(x)$ nell'intervallo $x,x+h$.

E col metodo tante volte usato si deduce

$f'(x)?\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=F(x)$.

L'allievo controlli questo risultato nei casi su citati che $S$ sia una sfera, od una piramide, calcolando effettivamente $f(x)$ ed $F(x)$.

Varie e molteplici sono le applicazioni della definizione di derivata di una funzione $f(x)$ e in moltissimi problemi la considerazione di $f'(x)$ si presenta spontanea. Perciò assai importanti sono i problemi fondamentali del calcolo:

1° Trovare la derivata di una funzione data.

2° Trovare le funzioni, che hanno una derivata assegnata.

Del primo si occupa il calcolo differenziale, del secondo il calcolo integrale.

Note

1. Cioè la variabile, alla quale si è dato l'incremento arbitrario h, che si fa tendere a zero. L'arbitrarietà di $h$ è naturalmente limitata alla sola condizione che i punti $x,x+h$ appartengono al campo, in cui la $f(x)$ è definita.
2. È facile riconoscere che una funzione può essere continua in un punto $y=a$, senza essere derivabile in tale punto. Basti pensare alle funzioni $f(x)$ tali che la curca $y=f(x)$ abbia per $x=a$ un punto angolare. Ma sono stati dati esempi di funzioni continue in tutto un intervallo, sprovviste di derivata in ogni punto di tale intervallo.
3. E non già $f(x)$. Si osservi del resto che la $y-y_{0}=(x-x_{0})f'(x)$ non è generalmente l'equazione di una retta, e tanto meno della retta tangente, perchè non è neanche lineare (di primo grado) nella $x,y$.
4. Si potrebbe dare a queste condizioni (non tutte tra loro indipendenti) una forma che almeno apparentemente fosse meno restrittiva.