Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 48

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Retta tangente a una curva

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[p. 159 modifica]

§ 48. — Retta tangente a una curva.

Come possiamo definire la retta tangente a una curva in un punto $A$ in modo conforme alla nostra intuizione?

Le seguenti figure dimostrano che non si può definire tale tangente, dicendo che essa è la retta cha il solo punto $A$ comune con la curva, oppure che essa è la retta che ha con la curva a comune il punto $A$ , ma che non attraversa la curva in $A$ (figure 12-13).

Noi partiremo dall'osservazione che la retta che congiunge due punti $A,B$ molto vicini di una curva si confonde sensibilmente con la retta, che la nostra intuizione dice tangente alla curva nel punto $A$ .

Fig. 14.

Così che un abile disegnatore potrebbe chiamare retta tangente a una curva in suo punto $A$ la retta $AB$ (fig. 14), essendo $B$ il punto della nostra curva più vicino al punto $A$ , tale che la retta $AB$ possa venire da lui tracciata con l'approssimazione richiesta (se il punto $B$ fosse troppo vicino al punto $A$ , il tracciare con la precisione voluta la retta $AB$ egli presenterebbe difficoltà insormontabili). Una tale definizione non è però accettabile da un matematico, il quale prescinde da ogni possibile disegno, e non può tener conto della maggiore o minore abilità di un disegnatore. [p. 160 modifica]Noi, assumendo come punto di partenza i fatti intuitivi ora accennati, porremo la definizione seguente:

Tangente a una curva nel punto A è la posizione limite (se questa posizione esiste) si una secante A B congiungente il punto A con un altro punto B della curva, quando il punto B tende ad A¹.

Fig. 15.

Bisogna dimostrare che questa definizione coincide nel caso del cerchio con la definizione data dalla geometria elementare.

Sia dato un punto $A$ su un cerchio di centro $O$ . Preso un altro punto $B$ su tale cerchio, tiriamo la retta $AB$ ; essa sarà la perpendicolare tirata da $A$ alla bisettrice $OH$ dell'angolo $A(O)B$ (fig. 15).

Facciamo avvicinare il punto $B$ al punto $A$ : allora l'angolo $BOA$ tende a zero, e la bisettrice $OH$ di questo angolo tende al raggio $OA$ . La retta $AB$ , che è sempre perpendicolare alla bisettrice $OH$ , si avvicinerà alla perpendicolare alla retta $OA$ nel punto $A$ , e si ha così la posizione limite della retta $AB$ , ossia la tangente al cerchio nel punto $A$ , nel senso ora definito, è la perpendicolare al raggio del cerchio che ha l'estremo in quel punto $A$ , e coincide quindi con la retta che in geometria elementare si chiama “tangente al cerchio nel punto $A$ ”.

Fig. 16.

Sia la curva data dall'equazione $y=f(x)$ . Il coefficiente angolare della retta $Ab$ è la tangente dell'angolo $\omega$ che la direzione positiva dell'asse delle $x$ fa con un raggio di essa, p. es., col raggio $AB$ . Sia $AC$ parallela all'asse delle $x$ . Dal triangolo $ABC$ (fig. 16) si ha che questo coefficiente angolare vale in grandezza e segno

${\frac {CB}{AC}}={\frac {B'B-B'C}{OB'-OA'}}={\frac {B'B-A'A}{OB'-OA'}}$

dove $B'B$ e $A'A$ , $OB'$ ed $OA'$ sono rispettivamente le ordinate e le ascisse dei punti $B,A$ . [p. 161 modifica]Siano $x_{0}$ ed $x_{0}+h$ le ascisse $OA',OB'$ dei punti $A,B$ . Le corrispondenti ordinate $A'A,B'B$ saranno $f(x_{0})f(x_{0}+h)$ , cosicchè il coefficiente angolare della nostra retta è

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}-h)-x_{0})}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ ,

come del resto si poteva trarre direttamente da note formole di Geometria analitica.

E per la definizione precedente avremo che il coefficiente angolare della retta tangente in $A$ esiste ed è uguale a

$\lim _{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f_{(}x_{0})}{h}}$ ,

se questo limite esiste. Se noi vogliamo tener conto che $x_{0}$ può avere un valore qualsiasi dell'intervallo che si considera, possiamo scrivere $x$ al posto di $x_{0}$ , e dire così:

La retta tangente alla curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare il $\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ .

Note

↑ Qui si tratta di una facile estensione del concetto di limite. Noi diciamo che la retta $AB$ tende ad una posizione $AP$ , se l'angolo di $AB$ ed $AP$ tende a zero. Dicendo poi che $B$ si avvicina ad $A$ , vogliamo dire che, se la curva è rappresentata da una equazione $y=f(x)$ , noi cerchiamo la posizione limite di $AB$ per $x_{2}=x_{1}$ (essendo $x_{1},x_{2}$ le ascisse di $A$ e di $B$ ).

[1] Qui si tratta di una facile estensione del concetto di limite. Noi diciamo che la retta $AB$ tende ad una posizione $AP$ , se l'angolo di $AB$ ed $AP$ tende a zero. Dicendo poi che $B$ si avvicina ad $A$ , vogliamo dire che, se la curva è rappresentata da una equazione $y=f(x)$ , noi cerchiamo la posizione limite di $AB$ per $x_{2}=x_{1}$ (essendo $x_{1},x_{2}$ le ascisse di $A$ e di $B$ ).

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