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CAPITOLO VIII — § 49

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Fig. 18

α) Sia, p. es., la curva $y=f(x)$ (fig. 18) la retta uscente dal punto di ascissa $a$ ed ordinata $b$ col coefficiente angolare $m$; sia cioè $f(x)=b+m(x-a)$ dove $m={\text{tg}}\omega$, essendo $\omega$ il solito angolo della retta con l'asse delle $x$. L'area della nostra figura (un trapezio) è

${\frac {b+f8x)}{2}}(x-a)=b(x-a)+{\frac {m}{2}}(x-a)^{2}$.

Ne deduciamo che la derivata di

$b(x-a)+{\frac {m}{2}}(x-a)^{2}$

è $b+m(x-a)$: ciò che si pò dimostrare direttamente col metodo di pag. 162.

β) Sia ora la curva $y=f(x)$ un arco di cerchio col centro nell'origine e raggio $R$. Dalla equazione $x^{2}+y^{2}=R^{c}$ di questo cerchio si trae $y=f(x)=+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ (fig. 19). Fig. 19. L'area racchiusa tra l'asse delle $x$, il cerchio, l'ordinata (di lunghezza nulla) di ascissa $-R$ e l'ordinata di ascissa variabile $x$ è data da $(\pi -\alpha )R{\frac {R}{2}}+{\frac {xy}{2}}$, dove $\alpha$ (cfr. fig. 19) è l'arco minore di $\pi$ che ha per coseno ${\frac {x}{R}}$, o, come si suol dire, $\alpha =\arccos {\frac {x}{R}}$ ed $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$.

Quindi la derivata di $\left(\pi -\arccos {\frac {x}{R}}\right){\frac {R^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}(0\leq {\text{arc cos}}x\leq \pi )$ è uguale a $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$.

γ) Infine, se $f(x)={\frac {1}{x}}$ e quindi la curva $y={\frac {!}{x}}$ è un'iperbole equilatera con gli assi coordinati per asintoti, noi sappiamo (§ 38, es. 3°, pag. 128) che $A(x)=\log _{e}{\frac {x}{a}}$. Quindi la derivata di $\log _{e}{\frac {x}{a}}$ e in aprticolare di $\log _{e}x$ vale ${\frac {1}{x}}$.