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CAPITOLO VIII — § 49

In entrambi i problemi precedentemente trattati, si è trovato necessario calcolare il

$\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}$ .

Questo limite, se esiste ed è finito, ha ricevuto il nome di derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x$ ; esso è una funzione di $x$ , che si suole indicare con $f'(x)$ .

Se è posto $y=f(x)$ , questo limite, se esiste, si indica brevemente anche con $y'$ senz'altro, o con $y'_{x}$ , se si vuol mettere in evidenza la variabile $x$ rispetto al quale si deriva¹.

Se il punto $x$ che si esamina è all'estremo sinistro (destro dell'intervallo, in cui $f(x)$ è definita, è sotteso che $h$ tende a zero per valori positivi (negativi); se invece il punto $x$ è interno a tale intervallo, si dice che la funzione $f(x)$ ha in tal punto la derivata $f'(x)$ soltanto se il $\lim _{\Delta x=0}|frac{|deltaf}{\Delta x}$ esiste, e è sempre lo stesso, sia che $h$ tenda a zero per valori positivi, sia che $h$ tenda a zero per valori negativi.

Di più, quando diremo che esiste la derivata $f'(x)$ , noi supporremo sempre che il nostro limite abbia valore finito (sebbene si parli talvolta anche di derivate infinite). I risultati dei precedenti paragrafi si possono perciò anche enunciare così:

1° Se $y=f(x)$ è lo spazio percorso da un punto $M$ mobile su una retta in $x$ unità di tempo, allora la derivata $y'=f'(x)$ di $f(x)$ ci sà la velocità del punto $M$ all'istante $x$ (dopo che sono trascorse $x$ unità di tempo).

2° La retta tangente alla curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare $y'=f'(x)$ .

Così, p. es., la derivata di $y=ax^{2}(a={\text{cost.}})$ è

$\lim _{h=0}{\frac {a(x+h)^{2}-ax^{2}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {2axh+ah^{2}}{h}}=$

$=\lim _{h=0}(2ax+ah)=2ax$ .

Quindi: Se un punto in $x$ minuti secondi percorre $ax^{2}$ metri, la sua velocità (misurata in metri secondi) dopo $x$ secondi è

↑ Cioè la variabile, alla quale si è dato l'incremento arbitrario h, che si fa tendere a zero. L'arbitrarietà di $h$ è naturalmente limitata alla sola condizione che i punti $x,x+h$ appartengono al campo, in cui la $f(x)$ è definita.

[1] Cioè la variabile, alla quale si è dato l'incremento arbitrario h, che si fa tendere a zero. L'arbitrarietà di $h$ è naturalmente limitata alla sola condizione che i punti $x,x+h$ appartengono al campo, in cui la $f(x)$ è definita.

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